Mersenne, Asal Sayılar ve Mükemmel Sayılar

Bir doğal sayı, kendisi hariç tüm çarpanlarının (bölenlerinin) toplamına eşitse mükemmel deriz. Örneğin, 6 ve 28 mükemmel sayılardır, bakınız:
6 = 1 + 2 + 3 (6: 1, 2, 3 ve 6'nın çarpanları), 6 sayısını hariç tutuyoruz.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (28'in çarpanları: 1, 2, 4, 7, 14, 28), 28'i hariç tutuyoruz.
Mersenne sayıları Mn = 2n – 1 biçimindeki sayılardır. Bu ifadenin n = asal sayıları dikkate alarak olası asal sayıları hesaplayabileceğini bile düşündü, ancak daha sonra neredeyse haklı olduğu ortaya çıktı. Örneğin:
M₁ = 2¹ – 1 = 1
M₂ = 2² – 1 = 3 → n = 2 (kuzen), M₂ = 3 (kuzen)
M₃ = 2³ – 1 = 7 → n = 3 (kuzen), M₃ = 7 (kuzen)
M₄ = 2⁴ – 1 = 15
M₅ = 2⁵ – 1 = 31 → n = 5 (kuzen), M₅ = 31 (kuzen)
M₆ = 2⁶ – 1 = 63
M₇ = 2⁷ – 1 = 127 → n = 7 (kuzen), M₇ = 127 (kuzen)
M₈ = 2⁸ – 1 = 255
M₉ = 2⁹ – 1 = 511
M₁₀ = 2¹⁰ – 1 = 1023
M₁₁ = 2¹¹ – 1 = 2047 → n = 11 (kuzen), M₁₁ = 2047 (asal değil)
M₁₃ = 2¹³ – 1 = 8191 → n = 13 (kuzen), M₁₃ = 8191 (kuzen)
Asal sayıların dizisi içinde Mersenne formülünde uygulanan elemanlar vardır. asal elemanlar, örneğin 11 sayısı, formüle uygulandığında 2047 ile sonuçlandı, bir sayı değil hala kızı.

Mükemmel sayıların bilgisi, Geometri'yi kuran ünlü Yunan matematikçi Öklid'e atfedilir. Kullandığı yöntem, 1'in asal sayıya 2'nin güçlerini ekleyerek başlar. Daha sonra toplamı 2'nin son kuvvetiyle çarparak mükemmel bir sayı elde edilir.

Mükemmel sayı ile Mersenne asal sayıları arasındaki ilişkiye dikkat edin.

tarafından Mark Noah
Matematik mezunu
Brezilya Okul Takımı

sayısal kümeler - Matematik - Brezilya Okulu

Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm