Kepler Kanunları: Giriş ve Çözümlü Alıştırmalar

Kepler Kanunları 1609 ve 1619 yılları arasında Alman astronom ve matematikçi tarafından gezegensel hareket üzerine geliştirildi. Johannes Kepler. tanımlamak için kullanılan Kepler'in üç yasası yörüngeler gezegenlerinin Güneş Sistemi, Danimarkalı astronom tarafından elde edilen doğru astronomik ölçümler temelinde inşa edildi. Tycho Brahe.

Kepler Kanunlarına Giriş

tarafından bırakılan katkılar Nicolas Kopernik alanında astronomi vizyon ile kırdı yermerkezci Evrenin gezegen modelinden türetilen Claudio Batlamyus. Copernicus tarafından önerilen model, karmaşık olmasına rağmen, tahmin ve açıklama Bununla birlikte, birkaç gezegenin yörüngelerinin bazı kusurları vardı, en dramatik olanı, yılın belirli dönemlerinde Mars'ın geri giden yörüngesi için tatmin edici bir açıklamaydı.

Ayrıca bakınız:astronomi tarihi

Copernicus'un gezegen modeliyle açıklanamayan sorunların çözümü ancak 17. yüzyılda, Johannes Kepler. Bu amaçla Kepler, gezegenlerin yörüngelerinin tam olarak dairesel olmadığını kabul etti. eliptik

. Brahe tarafından yürütülen son derece doğru astronomik verilere sahip olan Kepler, gezegenlerin hareketini yöneten iki yasa belirledi: 10 yıl sonra, kendi etrafında dönen gezegenlerin yörünge periyodunu ve hatta yörünge yarıçapını tahmin etmeye izin veren üçüncü bir yasa yayınladı. nın-nin Güneş.

Kepler yasaları sayesinde gezegenlerin yörüngelerinin şeklini belirlemek mümkündür.

Kepler Kanunları

Kepler'in gezegensel hareket yasaları şu şekilde bilinir: eliptik yörüngeler kanunu,Alanlar kanunu ve periyotlar kanunu. Bunlar birlikte, büyük bir yıldızın etrafında dönen herhangi bir cismin hareketinin nasıl çalıştığını açıklar. gezegenler veya yıldızlar. Kepler yasalarında belirtilenleri kontrol edelim:

Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)

Kepler'in 1. yasası: yörüngeler yasası

bu Kepler'in birinci yasası Güneş etrafında dönen gezegenlerin yörüngelerinin dairesel değil elips şeklinde olduğunu belirtir. Ayrıca Güneş her zaman bu elipsin odaklarından birini işgal eder. Eliptik olmasına rağmen, Dünya'nınki gibi bazı yörüngeler bir daireye çok yakınsahip elipsler oldukları için eksantriklikçokküçük. Eksantriklik, bir geometrik şeklin bir diğerinden ne kadar farklı olduğunu gösteren ölçüdür. daire ve elipsin yarı eksenleri arasındaki ilişki ile hesaplanabilir.

"Gezegenlerin yörüngesi, Güneş'in odaklardan birini işgal ettiği bir elipstir."

Şekil (ölçekli değil), Dünya'nın yörüngesinin eliptik olduğunu ve Güneş'in odaklardan birinde olduğunu göstermektedir.

2. Kepler yasası: alanlar yasası

Kepler'in ikinci yasası, Güneş'i yörüngesindeki gezegenlere bağlayan hayali çizginin eşit zaman aralıklarında alanları süpürdüğünü belirtir. Başka bir deyişle, bu yasa, alanların süpürülme hızı aynıdır, yani yörüngelerin halo hızı sabittir.

"Güneş'i yörüngesindeki gezegenlere bağlayan hayali çizgi, eşit zaman aralıklarında eşit alanları tarar."

Alanlar yasasına göre, aynı zaman aralığında, A alanları₁ ve₂ onlar aynı.

3. Kepler yasası: periyotlar yasası veya uyum yasası

Kepler'in üçüncü yasası, bir gezegenin yörünge periyodunun (T²) karesinin, Güneş'ten ortalama uzaklığının (R³) küpü ile doğru orantılı olduğunu belirtir. Ayrıca, T² ve R³ arasındaki oran, bu yıldızın yörüngesindeki tüm yıldızlar için tamamen aynı büyüklüğe sahiptir.

"Periyodun karesi ile bir gezegenin yörüngesinin ortalama yarıçapının küpü arasındaki oran sabittir."

Kepler'in üçüncü yasasını hesaplamak için kullanılan ifade aşağıda gösterilmiştir, kontrol edin:

T - Yörünge dönemi

$ - yörüngenin ortalama yarıçapı

Bir sonraki şekle bakın, içinde Güneş etrafındaki bir gezegen yörüngesinin büyük ve küçük eksenlerini gösteriyoruz:

Kepler'in üçüncü yasasının hesaplanmasında kullanılan yörüngenin ortalama yarıçapı, maksimum ve minimum yarıçaplar arasındaki ortalama ile verilir. Dünyanın Güneş'e olan en büyük ve en kısa mesafesini karakterize eden şekilde gösterilen konumlara sırasıyla günötesi ve günberi adı verilir.

Ortalama yarıçap, günberi ve günötesi yarıçaplarının ortalaması ile hesaplanır.

Dünya yaklaştığında günberi, sizin yörünge hızı arttığından, yerçekimi ivmesi Güneş'in şiddeti artıyor. Bu şekilde, Dünya maksimum kinetik enerji yakın olduğunda günberi. Günötesine yaklaşırken, kinetik enerjisini kaybeder, böylece yörünge hızı en küçük ölçüsüne indirgenir.

Daha fazlasını bilin: Yerçekimi ivmesi - formüller ve alıştırmalar

Kepler'in üçüncü yasasının daha ayrıntılı formülü aşağıda gösterilmiştir. T² ve R³ arasındaki oranın yalnızca iki sabit tarafından belirlendiğini unutmayın, pi sayısı ve evrensel yerçekimi sabiti ve ayrıca makarna güneşin:

G – evrensel yerçekimi sabiti (6.67.10)^-11 N.m²/kg²)

M - Güneş'in kütlesi (1.989.10)³⁰ kilogram)

Bu yasa Kepler tarafından değil, Isaac Newton, vasıtasıyla evrensel yerçekimi yasası. Yapmak için, Newton Dünya ile Güneş arasındaki çekim kuvvetinin bir merkezcil kuvvet. Aşağıdaki hesaplamaya bakın, evrensel çekim yasasına dayanarak Kepler'in üçüncü yasasının genel ifadesini elde etmenin nasıl mümkün olduğunu gösteriyor:

Merkezcil kuvvet ve yerçekimi yasasına dayanarak Kepler'in üçüncü yasasını elde etmek mümkündür.

Ayrıca biliniz:Merkezcil ivme nedir?

Aşağıdaki tabloyu kontrol edin, içinde T² ve R³ ölçümlerinin oranlarına ek olarak Güneş Sistemindeki her gezegen için nasıl değiştiğini gösteriyoruz:

Gezegen	AU'da ortalama yörünge yarıçapı (R)	Karasal yıllardaki dönem (T)	T²/R³
Merkür	0,387	0,241	1,002
Venüs	0,723	0,615	1,001
Dünya	1,00	1,00	1,000
Mars	1,524	1,881	1,000
Jüpiter	5,203	11,860	0,999
Satürn	9,539	29,460	1,000
Uranüs	19,190	84,010	0,999
Neptün	30,060	164,800	1,000

Tablodaki yörüngelerin ortalama yarıçapı şu şekilde ölçülür: astronomik birimler (u). Bir astronomik birim şuna karşılık gelir: mesafeortalama Dünya ve Güneş arasında, yaklaşık 1.496.10¹¹ m. Ek olarak, T² / R³ oranlarındaki küçük değişiklikler, yörünge yarıçapı ve periyot ölçümlerindeki kesinlik sınırlamalarından kaynaklanmaktadır. tercüme her gezegenin.

BakAyrıca: Merkezcil kuvvet uygulamaları - dikenler ve çöküntüler

Kepler Kanunları Üzerine Alıştırmalar

Soru 1) (2019) Bir uzay istasyonu olan Kepler, doğal uydusu eliptik bir yörüngeye sahip olan bir ötegezegeni inceler.₀ ve periyot T₀, burada d = 32a₀ istasyon ve ötegezegen arasındaki mesafe. Kepler'den ayrılan bir nesne, yerçekimsel olarak ötegezegen tarafından çekilir ve ona göre hareketsiz konumdan serbest düşüş hareketi başlatır. Dış gezegenin dönüşünü ihmal ederek, uydu ile nesne arasındaki yerçekimi etkileşimi ve ilgili tüm cisimlerin boyutları T'nin bir fonksiyonu olarak hesaplanır.₀ cismin düşme süresi.

geri bildirim: t = 32T₀

Çözüm:

Cismin tanımlayacağı eliptik yörüngenin eksantrikliğinin yaklaşık olarak 1'e eşit olduğunu hesaba katarsak, cismin yörünge yarıçapının Kepler uzay istasyonu ile uzay istasyonu arasındaki mesafenin yarısına eşit olacağını varsayabiliriz. gezegen. Bu şekilde cismin ilk konumundan gezegene ne kadar yaklaşması gerektiğini hesaplamış olacağız. Bunun için yörüngenin periyodunu bulmalıyız ve düşme zamanı da bu zamanın yarısına eşit olacaktır:

Kepler'in üçüncü yasasını uyguladıktan sonra sonucu 2'ye böleriz, çünkü hesapladığımız şey zamanın yarısında cismin gezegene doğru düştüğü ve diğer yarısında ise, yörünge periyoduydu. uzaklaşıyor. Böylece düşme zamanı, T cinsinden₀, aynı 32T₀.

Soru 2) (Udesc 2018) Kepler'in gezegensel hareket yasalarına ilişkin önermeleri çözümler.

BEN. Bir gezegenin hızı günberi noktasında en yüksektir.

II. Gezegenler, yörüngenin merkezinde Güneş olmak üzere dairesel yörüngelerde hareket ederler.

III. Bir gezegenin yörünge periyodu, yörüngesinin ortalama yarıçapı ile artar.

IV. Gezegenler, odaklarından birinde Güneş olmak üzere eliptik yörüngelerde hareket eder.

V. Aphelion'da bir gezegenin hızı daha yüksektir.

alternatifi işaretleyin doğru.

a) Yalnızca I, II ve III numaralı ifadeler doğrudur.

b) Sadece II, III ve V numaralı ifadeler doğrudur.

c) Yalnızca I, III ve IV numaralı ifadeler doğrudur.

d) Sadece III, IV ve V ifadeleri doğrudur.

e) Sadece I, III ve V ifadeleri doğrudur.

geri bildirim: C harfi

Çözüm:

Alternatiflere bakalım:

BEN - GERÇEK. Gezegen günberiye yaklaştığında, kinetik enerjideki kazanç nedeniyle öteleme hızı artar.

II - YANLIŞ. Gezegen yörüngeleri eliptiktir ve Güneş odaklarından birini işgal eder.

III - GERÇEK. Yörünge periyodu yörüngenin yarıçapı ile orantılıdır.

IV - GERÇEK. Bu iddia Kepler'in birinci yasasının ifadesi ile doğrulanır.

V - YANLIŞ. Bir gezegenin hızı günberi yakınında en fazladır.

Soru 3) (vay) Güneş Sistemi ile ilgili birçok teori, 16. yüzyılda Polonyalı Nicolaus Copernicus'un devrim niteliğinde bir versiyonunu sunana kadar izledi. Kopernik için, Sistemin merkezi Dünya değil Güneş idi. Şu anda, Güneş Sistemi için kabul edilen model, Alman Johannes Kepler ve sonraki bilim adamları tarafından önerilen düzeltmelerle, temel olarak Kopernik'in modelidir.

Yerçekimi ve Kepler yasaları ile ilgili aşağıdaki ifadeleri göz önünde bulundurun: doğru (Yapacağım sahte (F).

BEN. Güneş'i referans alarak, tüm gezegenler elipsin odaklarından biri olan Güneş'le birlikte eliptik yörüngelerde hareket eder.

II. Güneş Sistemindeki bir gezegenin kütle merkezinin, kütle merkezine göre konum vektörü Güneş, gezegenin konumunuz ne olursa olsun, eşit zaman aralıklarında eşit alanları süpürür. yörünge.

III. Güneş Sistemindeki bir gezegenin kütle merkezinin, Güneş'in kütle merkezine göre konum vektörü, gezegenin konumundan bağımsız olarak orantılı alanları eşit zaman aralıklarında süpürür. yörünge.

IV. Güneş Sistemindeki herhangi bir gezegen için, yörüngenin ortalama yarıçapının küpü ile Güneş etrafındaki dönüş periyodunun karesinin bölümü sabittir.

alternatifi işaretleyin DOĞRU.

a) Tüm ifadeler doğrudur.

b) Yalnızca I, II ve III numaralı ifadeler doğrudur.

c) Sadece I, II ve IV numaralı ifadeler doğrudur.

d) Sadece II, III ve IV numaralı ifadeler doğrudur.

e) Yalnızca I ve II numaralı ifadeler doğrudur.

Şablon: C harfi

çözüm:

BEN. DOĞRU. Bu ifade, Kepler'in birinci yasasının tam ifadesidir.

II. DOĞRU. Bu ifade Kepler'in ikinci yasasının tanımıyla örtüşmektedir.

III. YANLIŞ. Açısal momentumun korunumu ilkesinden yola çıkan Kepler'in ikinci yasasının belirlenmesi, süpürülen alanların eşit zaman aralıkları için eşit olduğunu ima eder.

IV. DOĞRU. Bu ifade, Kepler'in dönemler kanunu olarak da bilinen üçüncü kanun ifadesini yeniden üretmektedir.

Benden. Rafael Helerbrock