16. yüzyılın ortalarına kadar x gibi denklemler2 – 6x + 10 = 0 basitçe “çözüm yok” olarak kabul edildi. Bunun nedeni, Bhaskara'nın formülüne göre, bu denklemi çözerken bulunan sonucun şöyle olmasıydı:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Problem, reel sayılar kümesi içinde çözümü olmayan √– 4'te bulundu. 2·2 = 4 ve (–2)(–2) = olduğundan, kendisiyle çarpıldığında √– 4 veren bir gerçek sayı vardır. 4.
1572'de Rafael Bombelli, x denklemini çözmekle meşguldü.3 – 15x – 4 = 0, Cardano formülünü kullanarak. Bu formül aracılığıyla, √– 121'i hesaplamak gerektiğinden, bu denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varılır. Ancak, birkaç denemeden sonra, 4'ü bulmak mümkündür.3 – 15·4 – 4 = 0 ve dolayısıyla x = 4 bu denklemin köküdür.
Cardano'nun formülüyle ifade edilmeyen gerçek köklerin varlığını göz önünde bulundurarak Bombelli, √– 121, √(– 11·11) = 11·√– 1 ile sonuçlanır ve bu, denklem için “gerçek dışı” bir kök olabilir okudu. Böylece, √– 121, bu denklemin diğer temelsiz köklerini oluşturan yeni bir sayı türünün parçası olacaktır. yani denklem x
3 – 15x – 4 = 0'ın üç kökü vardır, gerçek kök olarak x = 4 ve bu yeni sayı türüne ait iki kök daha olacaktır.18. yüzyılın sonlarında Gauss bu sayıları şöyle adlandırdı: Karışık sayılar. O zaman, karmaşık sayılar zaten formu alıyordu. bir + bi, ile ben = √– 1. Ayrıca, ve B bunlar zaten Argand-Gauss düzlemi olarak bilinen bir Kartezyen düzleminin noktaları olarak kabul ediliyorlardı. Böylece, Z = a + bi karmaşık sayısının geometrik gösterimi, Kartezyen düzlemin bir P (a, b) noktasına sahipti.
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
Bu nedenle, ifade "Karışık sayılar”, temsilcileri olan sayısal kümeye atıfta bulunularak kullanılmaya başlandı: Z = a + bi, ile i = √– 1 ve ile ve B reel sayılar kümesine ait. Bu temsile denir Z karmaşık sayısının cebirsel biçimi.
Karmaşık sayılar iki gerçek sayıdan oluştuğu ve bunlardan biri ile çarpıldığı için √– 1, bu gerçek sayılara özel bir isim verilmiştir. Z = a + bi karmaşık sayısı göz önüne alındığında, a "Z'nin gerçek kısmı" ve b "Z'nin sanal kısmı" dır.. Matematiksel olarak sırasıyla şöyle yazabiliriz: Re (Z) = a ve Im (Z) = b.
Karmaşık bir sayının modülü fikri, gerçek bir sayının modülü fikrine benzer şekilde kristalleştirilir. P(a, b) noktası, Z = a + bi karmaşık sayısının geometrik bir temsili olarak düşünüldüğünde, P noktası ile (0,0) noktası arasındaki uzaklık şu şekilde verilir:
|Z| = √(2 + b2)
Karmaşık sayıları temsil etmenin ikinci bir yolu, Polar veya trigonometrik form. Bu form, yapısında karmaşık bir sayının modülünü kullanır. Z karmaşık sayısı, cebirsel olarak Z = a + bi, kutupsal formla şu şekilde temsil edilebilir:
Z = |Z|·(cosθ + icosθ)
Kartezyen düzlemin, x ve y eksenleri olarak bilinen iki ortogonal çizgi ile tanımlandığını belirtmek ilginçtir. Gerçek sayıların, üzerine tüm rasyonel sayıların yerleştirildiği bir çizgi ile gösterilebileceğini biliyoruz. Kalan boşluklar irrasyonel sayılarla doldurulur. Gerçek sayıların tümü olarak bilinen satırdayken X ekseni Kartezyen düzlemden, o düzleme ait diğer tüm noktalar, karmaşık sayılar ve gerçek sayılar arasındaki fark olacaktır. Böylece gerçek sayılar kümesi, karmaşık sayılar kümesinde bulunur.
Luiz Paulo Moreira'nın fotoğrafı.
Matematik mezunu
Bu metne bir okulda veya akademik bir çalışmada atıfta bulunmak ister misiniz? Bak:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Karmaşık sayılar nedir?"; Brezilya Okulu. Uygun: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. 27 Haziran 2021'de erişildi.