Nasıl olduğunu biliyoruz polinom benzer olmayan tek terimlilerin cebirsel toplamını gösteren bir ifade, yani polinom bir cebirsel ifade monomials arasında. Monomium, bir katsayısı ve gerçek bir kısmı olan cebirsel bir terimdir.
Polinomlar arasında benzer terimler olduğunda, aşağıdakileri yapmak mümkündür: şartlarının azaltılması iki polinomun eklenmesi veya çıkarılmasında. Dağılma özelliği aracılığıyla iki polinomu çarpmak da mümkündür. Bölme, anahtarlar yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir.
Siz de okuyun: Polinom Denklemi - 0'a eşit bir polinom ile karakterize edilen denklem
monomials nedir?
Bir polinomun ne olduğunu anlamak için önce monomiyumun anlamını anlamak önemlidir. Cebirsel bir ifade, sahip olduğu zaman monomiyum olarak bilinir. sayılar ve harfler ve bunların üsleri sadece çarpma ile ayrılır. Sayı katsayı olarak bilinir ve harfler ve üsleri değişmez kısım olarak bilinir.
Örnekler:
2x² → 2 katsayıdır; x² gerçek kısımdır.
√5ax → √5 katsayıdır; balta gerçek kısımdır.
b³yz² → 1 katsayıdır; b³yz² gerçek kısımdır.
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
polinom nedir?
Bir polinom, tek terimlilerin cebirsel toplamıyani, birbirinden toplama veya çıkarma ile ayrılmış daha tek terimlilerdir.
Örnekler:
ax² + ile + 3
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b – 3xa
Genel olarak konuşursak, bir polinomun birkaç terimi olabilir, cebirsel olarak şu şekilde temsil edilir:
HayırxHayır +(n-1) x(n-1) + … +2x² + bir1x + bir
Ayrıca bakınız: Polinomların sınıfları nelerdir?
polinom derecesi
Polinomun derecesini bulmak için tek değişkenli ve çok değişkenli olmak üzere iki duruma ayıralım. Polinomun derecesi şu şekilde verilir: her iki durumda da tek terimlilerinin en büyüğünün derecesi.
Yalnızca bir değişkeni olan bir polinomla çalışmak oldukça yaygındır. Bu olduğunda, Ö daha büyük monomiyum derece hangi dereceyi gösterir polinomun değişkenin en büyük üssüne eşittir:
Örnekler:
Tek Değişkenli Polinomlar
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → değişkenin x olduğuna ve sahip olduğu en büyük üssün 3 olduğuna dikkat edin, yani bu bir derece 3 polinomudur.
b) 2 yıl5 + 4y² – 2y + 8 → değişken y'dir ve en büyük üs 5'tir, yani bu 5. dereceden bir polinomdur.
Bir monomialde polinomun birden fazla değişkeni varsa bu terimin derecesini bulmak için Ekle-Eğer değişkenlerin her birinin üslerinin derecesi. Bu nedenle, bu durumda polinomun derecesi hala en büyük monomialin derecesine eşittir, ancak her monomialin değişkenlerinin üslerini toplamaya özen göstermek gerekir.
Örnekler:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
Her terimin gerçek kısmını analiz ederek şunları yapmalıyız:
xy → 2. derece (1 + 1)
x²y³ → derece 5 (2 + 3)
y³ → 3. derece
En büyük terimin derece 5 olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu bir derece 5 polinomudur.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Her monomiumun gerçek kısmını analiz etmek:
a²b → 3. derece (2 + 1)
ab² → derece 2 (1 + 1)
a²b² → 4. derece (2 + 2)
Böylece, polinom 4. dereceye sahiptir.
Polinomları Ekleme
için iki polinom arasında toplama, hadi gerçekleştirelim benzer tek terimlilerin indirgenmesi. İki tek terimli, eşit değişmez parçalara sahipse benzerdir. Bu olduğunda, polinomu basitleştirmek mümkündür.
Misal:
P(x) = 2x² + 4x + 3 ve Q(x) = 4x² – 2x + 4 olsun. P(x) + Q(x) değerini bulun.
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Benzer terimleri bulma (aynı değişmez parçalara sahip):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2 kere + 4
Şimdi benzer tek terimlileri ekleyelim:
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polinom Çıkarma
Çıkarma, toplama işleminden çok farklı değildir. Önemli detay şu ki önce zıt polinomu yazmalıyız benzer terimlerin sadeleştirilmesini gerçekleştirmeden önce.
Misal:
Veri: P(x) = 2x² + 4x + 3 ve Q(x) = 4x² - 2x + 4. P(x) – Q(x) hesaplayın.
-Q(x) polinomu Q(x)'in tersidir, Q(x'in tersini bulmak için), sadece her bir teriminin işaretini tersine çevirmemiz yeterlidir, bu yüzden şunu yapmalıyız:
-Q(x) = -4x² +2x – 4
Sonra hesaplayacağız:
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Benzer terimleri basitleştirirsek:
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
polinom çarpımı
İki polinomun çarpımını gerçekleştirmek için bilinenleri kullanırız. dağılma özelliği iki polinom arasında, birinci polinomun tek terimlilerinin ikincininkilerle çarpılmasını sağlayan işlem.
Misal:
P(x) = 2a² + b ve Q(x) = a³ + 3ab + 4b² olsun. P(x) · Q(x) hesaplayın.
P(x) · Q(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Dağılma özelliğini uygularsak, şunları elde ederiz:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Şimdi, eğer varsa, benzer terimleri sadeleştirebiliriz:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Sadece benzer tek terimlilerin turuncu renkle vurgulandığına dikkat edin, aralarında basitleştirme, cevap olarak aşağıdaki polinomu alacağız:
2.5 + (6+1)ab + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Ayrıca erişim: Cebirsel kesir çarpımı nasıl yapılır?
polinom bölümü
Gerçekleştir polinomların bölünmesi oldukça zahmetli olabilir, denileni kullanıyoruz anahtar yöntemi, ancak bunu yapmanın birkaç yöntemi var. İki polinomun bölünmesi sadece bölenin derecesi daha küçükse mümkündür. P(x) polinomunu D(x) polinomuna bölerek, Q(x) polinomunu arıyoruz, öyle ki:
Böylece, bölme algoritmasına göre, elimizde: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → temettü
D(x) → bölücü
Q(x) → bölüm
R(x) → kalan
Bölme işlemi yapılırken, kalan sıfır ise, polinom P(x) polinomu D(x) ile bölünebilir.
Misal:
P(x) = 15x² +11x + 2 polinomunu D(x) = 3x + 1 polinomuna bölerek işlem yapalım.
paylaşmak istiyoruz:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. adım: temettünün ilk monomiyumunu bölenin birincisi ile böldük:
15x²: 3x = 5x
2. adım: 5x · (3x+1) = 15x² + 5x'i çarparız ve P(x) sonucunu çıkarırız. Çıkarma işlemini gerçekleştirmek için, polinomu bularak çarpma sonucunun işaretlerini ters çevirmek gerekir:
3. adım: çıkarma sonucunun ilk teriminin bölenin ilk terimine bölünmesini yaparız:
6x: 3x = 2
4. adım: yani (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Bu nedenle, şunları yapmalıyız:
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
Siz de okuyun: Briot-Ruffini'nin pratik cihazı – polinomların bölünmesi
çözülmüş alıştırmalar
Soru 1 - P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m polinomunun derece 2 olması için m'nin değeri ne olmalıdır?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
E) -9
çözüm
alternatif A
P(x)'in 2. dereceye sahip olması için x³ katsayısının sıfıra eşit olması ve x² katsayısının sıfırdan farklı olması gerekir.
Yani yapacağız:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ±3
Öte yandan, m + 3 ≠ 0'a sahibiz.
Yani, m ≠ -3.
Böylece, birinci denklemin çözümü olarak m = 3 veya m = -3 var, ama ikincisi için m ≠ -3 var, yani P(x)'in derece 2 olmasını sağlayan tek çözüm: m = 3.
Soru 2 - (IFMA 2017) Şeklin çevresi polinom ile yazılabilir:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
çözüm
alternatif D
Görüntüden, verilen uzunluk ve genişliği analiz ettiğimizde, çevrenin tüm kenarların toplamı olduğunu biliyoruz. Uzunluk ve yükseklik aynı olduğundan, verilen polinomların toplamını 2 ile çarpıyoruz.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
(Enem) Dikdörtgen kumaş astar, ilk yıkamadan sonra şeklini korurken çekeceği bilgisini etiketinde taşır. Aşağıdaki şekil orijinal tavan ölçülerini ve büzülme boyutunu (x) uzunluk ve (y) genişlik olarak göstermektedir. Tavanın yıkandıktan sonraki alanını temsil eden cebirsel ifade (5 – x) (3 – y) dir.
Bu koşullar altında, ilk yıkamadan sonra astarın kayıp alanı şu şekilde ifade edilecektir:
p (x) = 2x³ + 3x² + 1 ve q (x) = 3x² + 5x – 15 polinomları verildiğinde, p(-2) + q (2) toplamı şuna eşittir:
