Dağılım ölçüleri: varyans ve standart sapma

çalışmasında istatistik, bir veri kümesinde sunulan değerlerin dağılıp dağılmadığını ve ne kadar uzakta olabileceğini kontrol etmek için bazı stratejilerimiz var. Bunu mümkün kılmak için kullanılan araçlar şu şekilde sınıflandırılır: dağılım önlemleri ve aradı varyans ve standart sapma. Her birinin neyi temsil ettiğini görelim:

Varyans:

• Bir veri kümesi verildiğinde, varyans, o kümedeki her bir değerin merkezi (ortalama) değerden ne kadar uzakta olduğunu gösteren bir dağılım ölçüsüdür.

• Varyans ne kadar küçükse değerler ortalamaya o kadar yakındır; ancak ne kadar büyükse, değerler ortalamadan o kadar uzaktır.

• Bunu bir düşün x₁, x₂, …, x_Hayıronlar Hayır elemanları örneklem bu mu X ve Bu elemanların aritmetik ortalaması. hesaplanması örnek varyans Şunlar tarafından verilir:

  Var. örnek = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_Hayır – x)²
  ​n - 1

• Öte yandan, hesaplamak istersek nüfus değişimi, sadece bir örneklem değil, popülasyonun tüm unsurlarını ele alacağız. Bu durumda, hesaplamanın küçük bir farkı vardır. İzlemek:

  Var. nüfus = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_Hayır – x)²
  Hayır

Standart sapma:

• Standart sapma, toplanan değerlerden birini aritmetik ortalama ile değiştirmek istersek, bir veri setindeki "hatayı" tanımlayabilir.

• Standart sapma, aritmetik ortalamanın yanında belirir ve bu değerin ne kadar “güvenilir” olduğunu bildirir. Aşağıdaki gibi sunulmaktadır:

  aritmetik ortalama (x) ± standart sapma (sd)

• Standart sapmanın hesaplanması, varyansın pozitif kare kökünden yapılır. Bu nedenle:

  dp = √var

Şimdi bir örnekte varyans ve standart sapma hesaplamasını uygulayalım:

Bir okulda yönetim kurulu, tüm derslerde tüm notları ortalamanın üzerinde olan öğrenci sayısına bakmaya karar verdi. Bunu daha iyi analiz etmek için yönetmen Ana, bir yıl boyunca dört sınıftan oluşan bir örneklemde “mavi” notların miktarını içeren bir tablo oluşturmaya karar verdi. Müdür tarafından düzenlenen tabloya bakın:

Varyansı hesaplamadan önce, kontrol etmek gerekir. aritmetik ortalama(x) her sınıftaki ortalamanın üzerinde öğrenci sayısı:

6. yıl → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7. yıl → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8. yıl → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9. yıl → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Her sınıftaki ortalamanın üzerindeki öğrenci sayısının varyansını hesaplamak için örneklem, bu yüzden formülünü kullanıyoruz örnek varyans:

Var. örnek = (x₁ – x)² + (x₂ – x)² + (x₃ – x)² +... + (x_Hayır – x)²
n - 1

Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)

6. yıl → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4.33

7. yıl → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8.00

8. yıl → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6.91

9. yıl → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13.66

Her sınıfın varyansı bilindiğinde, şimdi standart sapmayı hesaplayalım:

6. yıl dp = √var dp = √4.33 ​dp ≈ 2,08

7. yıl dp = √var dp = √8.00 ​dp ≈ 2,83

8. yıl dp = √var dp = √6.91 ​dp ≈ 2,63

9. yıl dp = √var dp = √13.66 ​dp ≈ 3,70

Analizini sonuçlandırmak için müdür, anket yapılan sınıf başına ortalamanın üzerindeki ortalama öğrenci sayısını gösteren aşağıdaki değerleri sunabilir:

6. yıl: Dönem başına ortalama 7.50 ± 2.08 öğrenci;
7. yıl: İki ayda ortalama 8.00 ± 2.83 öğrenci;
8. yıl: 8,75 ± 2,63 öğrenci iki ayda ortalamanın üzerinde;
9. yıl: 8,50 ± 3,70 öğrenci iki ayda ortalamanın üzerinde;

Başka bir dağılım ölçüsü, varyasyon katsayısı. Bak burada nasıl hesaplanır!

Amanda Gonçalves tarafından
Matematik mezunu