Bir matris üçgendir ana köşegenin üstündeki öğelerin veya ana köşegenin altındaki öğelerin tümü boş olduğunda. Bu tür matris için iki olası sınıflandırma vardır: birincisi, ana köşegenin üzerindeki öğeler boş olduğunda, bu da bir alt üçgen matris oluşturur; ikincisi, ana köşegenin altındaki öğeler boş olduğunda, bir üst üçgen matris oluşturur.
Üçgen matrisin determinantını Sarrus kuralına göre hesaplamak için, sadece ana köşegen çarpma işlemini yapın, çünkü diğer çarpmaların hepsi sıfıra eşit olacaktır.
Siz de okuyun: Dizi — nedir ve mevcut türler
Üçgen Matris Türleri
Üçgen matrisin ne olduğunu anlamak için, aynı sayıda satır ve sütuna sahip matris olan kare matrisin ana köşegeninin ne olduğunu hatırlamak önemlidir. Matrisin ana köşegeni a terimleridir.ij, burada i = j, yani satır numarasının sütun numarasına eşit olduğu terimlerdir.
Misal:
Kare matrisin ne olduğunu ve ana köşegeninin ne olduğunu anlayarak, üçgen matrisin ne olduğunu ve sınıflandırmalarını öğrenelim. Üçgen matris için iki olası sınıflandırma vardır:
alt üçgen matris ve üst üçgen matris.- Alt üçgen matris: ana köşegenin üzerindeki tüm terimler sıfıra eşit olduğunda ve ana köşegenin altındaki terimler sıfıra eşit olduğunda oluşur. gerçek sayılar.
Sayısal örnek:
- Üst üçgen matris: ana köşegenin altındaki tüm terimler sıfıra eşit olduğunda ve ana köşegenin üzerindeki terimler gerçek sayılar olduğunda oluşur.
Sayısal örnek:
Diyagonal matris
köşegen matris bir üçgen matrisin özel durumu. İçinde sıfır olmayan tek terim, ana köşegende bulunanlardır. Ana köşegenin üstündeki veya altındaki terimlerin tümü sıfıra eşittir.
Köşegen matrisin sayısal örnekleri:
Üçgen matrisin determinantı
Üçgen bir matris verildiğinde, bu matrisin determinantı hesaplanırken Sarrus'un kuralı, ana köşegenin teriminin çarpımı dışında tüm çarpımların sıfıra eşit olduğunu görebilirsiniz.
det (A) = bir11 · bir22· bir33 +12 · bir23 · 0 +13 · 0 · 0 -(13 ·23 ·0 +11 · bir23 · 0 +12 · 0· bir33)
İlk hariç tüm terimlerde sıfırın faktörlerden biri olduğunu ve hepsinin çarpma işlemi sıfır sıfıra eşittir, yani:
det (A) = bir11 · bir22· bir33
Bunun ana köşegenin terimleri arasındaki çarpım olduğuna dikkat edin.
Üçgen bir matrisin sahip olduğu satır ve sütun sayısından bağımsız olarak, determinant her zaman ana köşegenin terimlerinin çarpımına eşit olacaktır..
Ayrıca bakınız: Determinant — kare matrislere uygulanan özellik
Üçgen Matris Özellikleri
Üçgen matrisin bazı spesifik özellikleri vardır.
- 1. mülk: üçgen matrisin determinantı, ana köşegen terimlerinin çarpımına eşittir.
- 2. özellik: iki üçgen matris arasındaki ürün üçgen matristir.
- 3. özellik: üçgen matrisin ana köşegeninin terimlerinden biri sıfıra eşitse, determinantı sıfıra eşit olacak ve sonuç olarak ters çevrilemez.
- 4. özellik: üçgen matrisin ters matrisi de üçgen matristir.
- 5. özellik: iki üst üçgen matrisin toplamı bir üst üçgen matristir; benzer şekilde, iki alt üçgen matrisin toplamı bir alt üçgen matristir.
çözülmüş alıştırmalar
1) A matrisi verildiğinde, A'nın determinantının değeri:
a) 2
b) 0
c) 9
d) 45
e) 25
çözüm
Alternatif d.
Bu matris alt üçgendir, bu nedenle belirleyicisi ana köşegen üzerindeki terimlerin çarpımıdır.
det (A) = 1·3·3·1·5 = 45
2) Aşağıdaki ifadeleri değerlendiriniz.
I → Her kare matris üçgendir.
II → Alt üçgen matrisli üst üçgen matrisin toplamı her zaman üçgen matristir.
III → Her köşegen birim matrisi bir üçgen matristir.
Doğru sıralama:
a) V, V, V.
b) F, F, F.
c) F, V, F.
d) F, F, V.
e) V, V, F.
çözüm
Alternatif d.
I → Yanlış, çünkü her üçgen matris karedir, ancak her kare matris üçgen değildir.
II → Yanlış, çünkü üst ve alt üçgen matris arasındaki toplam her zaman üçgen matrisle sonuçlanmaz.
III → Doğru, çünkü köşegenden farklı terimler sıfıra eşittir.
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm