Tekrarlı düzenleme: nedir, formül, örnekler

Nasıl olduğunu biliyoruz tekrar düzenleme veya tam düzenleme, birlikte oluşturabileceğimiz tüm sıralı yeniden gruplamalar k ile bir kümenin elemanları Hayır elemanları, bir eleman ile Hayır birden fazla görünebilir. bu kombinatoryal analiz belirli durumlarda olası kümelerin sayısını bulmak için sayma tekniklerini geliştiren matematik alanıdır.

Bu gruplamalar arasında tekrarlı düzenleme vardır, örneğin şifreler, plakalar oluşturma, diğerleri arasında. Bu durumları çözmek için sayma tekniği olarak tekrarlı düzenleme formülünü uyguluyoruz. Tekrar eden düzenlemeyi ve tekrar etmeyen düzenlemeyi hesaplamak için farklı formüller vardır, bu nedenle doğru sayma tekniğini uygulamak için bu durumların her birinin nasıl ayırt edileceğini bilmek önemlidir.

Siz de okuyun: Saymanın temel ilkesi - kombinatoryal analizin ana konsepti

Tekrarlı düzenleme nedir?

Araç plakalarının üretiminde tekrarlı bir düzenleme vardır. [1]

Günlük hayatımızda diziler ve gruplamalar içeren durumlarla karşılaşırız. sosyal ağlardan veya bankadan ve ayrıca telefon numaralarından veya aşağıdakileri içeren durumlardan şifreler seçin sıralar. Her neyse, etrafımız bu gruplaşmaları içeren durumlarla çevrili.

Örneğin üç harf ve dört rakamdan oluşan plakalarda arabaların her birini tanımlayan duruma göre benzersiz dize, bu durumda birlikte çalışıyoruz düzenlemeler. Elemanları tekrar etmek mümkün olduğunda, tekrar ile tam aranjman veya aranjman ile çalışıyoruz.

ile verilen bir set Hayır elementler, tekrarlı düzenleme olarak bildiğimiz ile oluşturabileceğimiz tüm gruplamalar k bunun unsurları Ayarlamak, bir öğenin bir kereden fazla tekrarlanabileceği yer. Örneğin araç plakalarında, alabileceğimiz olası plaka sayısıdır. üç harf ve dört rakamdan oluştuğunu ve harf ve sayıların tekrarlanabileceğini göz önünde bulundurarak.

Olası yinelenen düzenlemelerin sayısını hesaplamak için çok basit bir formül kullanıyoruz.

Tekrarlı düzenleme formülü

Tam düzenleme miktarını bulmak için Hayır alınan farklı unsurlar k içinde

oh, bir öğenin tekrarına izin veren belirli bir durumda aşağıdaki formülü kullanırız:

HAVA_Hayır,_k = Hayır^k

AR → tekrarlı düzenleme
Hayır → kümedeki eleman sayısı
k → seçilecek eleman sayısı

Ayrıca bakınız: Basit kombinasyon - belirli bir kümenin tüm alt kümelerini sayın

Tekrarlanan Düzenleme Numarası Nasıl Hesaplanır

Tekrar düzenleme formülünün nasıl uygulanacağını daha iyi anlamak için aşağıdaki örneğe bakın.

örnek 1:

Bir banka şifresi, yalnızca sayılardan oluşan beş haneden oluşur, olası şifrelerin sayısı nedir?

Şifrenin beş haneli bir dize olduğunu ve tekrarlarda herhangi bir kısıtlama olmadığını bildiğimiz için tekrarlı düzenleme formülünü uygulayacağız. Kullanıcı, bu şifrenin beş hanesinin her birini oluşturacak 10 hane arasından seçim yapmalıdır, yani her beşte bir alınan 10 öğenin tekrarı ile düzenlemeyi hesaplamak istiyoruz.

HAVA_10,5 = 10⁵ = 10.000

Yani 10.000 şifre olasılığı var.

Örnek 2:

Araç plakalarının üç harf ve dört sayıdan oluştuğunu bilerek, kaç plaka oluşturulabilir?

Alfabemiz 26 harften oluşuyor ve 10 olası sayı var, bu yüzden iki tam diziye ayrılalım ve harfler ve sayılar için olası dizilerin sayısını bulalım.

HAVA_26,3 = 26³ = 17.576
HAVA₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Böylece, olası düzenlemelerin toplamı:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Basit düzenleme ve tekrar düzenleme arasındaki fark

Basit düzenlemeyi tekrarlı düzenlemeden ayırmak, konuyla ilgili sorunları çözmek için esastır. Farklılaşma için önemli olan, sırası önemli olan yeniden gruplaşmaların olduğu bir durumla uğraşırken, bunun ve bu yeniden gruplamalar terimler arasında tekrara izin veriyorsa, düzenleme olarak da bilinen tekrarlı bir düzenlemedir. tamamlayınız. Yeniden gruplandırma tekrarlamaya izin vermediğinde, hakkında basit bir düzenleme.

Basit düzenlemenin formülü, tekrar düzenlemesi için kullandığımızdan farklıdır.

Daha önce yinelenen düzenleme örneklerini gördük, şimdi basit düzenleme örneğine bakın

Misal:

Paulo birbirinden farklı 10 okul kitabından üçünü rafına koymak istiyor, bu kitapları kaç farklı şekilde düzenleyebilir?

Bu durumda sıralamanın önemli olduğunu, ancak basit bir düzenleme olduğu için tekrar olmadığını unutmayın. Olası gruplamaların sayısını bulmak için şunları yapmalıyız:

Kombinatoryal analizde kullanılan bu diğer gruplama biçimi hakkında daha fazla bilgi edinmek için metni okuyun: bubasit düzenleme.

Çözülen alıştırmalar:

Soru 1 - (Enem) Bir banka, müşterilerinden internet üzerinden çek hesabına erişmek için 0'dan 9'a kadar rakamlardan oluşan altı haneli kişisel bir şifre oluşturmalarını istedi. Bununla birlikte, elektronik güvenlik sistemlerinde bir uzman, banka yönetiminin kullanıcılarını yeniden kaydettirmesini tavsiye etti. her biri altı basamaklı yeni bir şifre oluşturularak, artık 0'dan 0'a kadar rakamların yanı sıra alfabenin 26 harfinin kullanılmasına izin veriyor. 9. Bu yeni sistemde, her büyük harf, küçük harf versiyonundan farklı kabul edildi. Ayrıca, diğer karakter türlerinin kullanımı yasaklandı.

Şifre sistemindeki bir değişikliği değerlendirmenin bir yolu, eskisine göre yeni şifre olasılığının nedeni olan iyileştirme katsayısını kontrol etmektir. Önerilen değişiklik iyileştirme katsayısı:

çözüm

alternatif A

Eski parola, tüm sayılardan oluşabileceği için tekrarlı bir dizidir, yani her altıda bir alınan 10 elemanlı bir dizidir.

HAVA_10,6 = 10⁶

Yeni şifre 10 rakamdan ve ayrıca büyük harflerden (26 harf) oluşabilir ve küçük harf (26 harf), bu nedenle şifre her basamak için toplam 10 + 26 + 26 = 62 olasılıklar. Altı rakam olduğu için, altıda bir alınan 62 elemanın tekrarı ile dizilişi hesaplayacağız.

HAVA_62,6 = 62⁶

bu sebep eskisine göre yeni şifre olasılığı sayısı 62'ye eşittir⁶/10⁶.

Soru 2 - (Enem 2017) Bir şirket web sitesini kuracak ve yaklaşık bir milyon müşteriden oluşan bir kitleyi çekmeyi umuyor. Bu sayfaya erişmek için şirket tarafından tanımlanacak formatta bir şifreye ihtiyacınız olacak. Programcı tarafından sunulan ve “L” ve “D”nin sırasıyla büyük harf ve rakamı temsil ettiği tabloda açıklanan beş format seçeneği vardır.

Mümkün olan 26 harf arasından alfabe harfleri ve mümkün olan 10 arasından rakamlar herhangi bir seçenekte tekrar edilebilir.

Şirket, olası farklı parola sayısı şundan daha fazla olan bir biçim seçeneği seçmek istiyor: beklenen müşteri sayısı, ancak bu sayı beklenen müşteri sayısının iki katını geçmez. müşteriler.

çözüm

alternatif E

Olasılıkların her birini hesaplayarak, bir milyondan fazla olasılığı ve iki milyondan az olasılığı olan şifreyi bulmak istiyoruz.

ben → LDDDDD

26 ·10⁵ iki milyondan fazladır, bu nedenle şirketin talebini karşılamaz.

II → DDDDDD

10⁶ bir milyona eşittir, bu nedenle şirketin talebini karşılamaz.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ iki milyondan fazladır, bu nedenle şirketin talebini karşılamaz.

IV → DDDDD

10⁵ bir milyondan az, bu yüzden şirketin talebini karşılamıyor.

V → LLDD

26³ ·10² bir milyon ile iki milyon arasındadır, bu nedenle bu parola şablonu idealdir.

Resim kredisi

[1] Rafael Berlandi / Shutterstock

Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni

Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm