Intern produkt mellan två vektorer

O punktprodukt mellan två vektorer är ett reellt tal som relaterar storleken på dessa vektorer, det vill säga deras längd och vinkeln mellan dem. För att beräkna det är det därför nödvändigt att känna till deras längder och vinkeln.

Med hjälp av planet som bas indikerar en vektor en plats, en intensitet, en riktning och en riktning. Därför används den i studierna av mekanik (fysik) som en representant för en kraft som appliceras på ett objekt.

Den vanliga representationen av vektorn är en pil som slutar vid en punkt. Koordinaterna för denna punkt sägs vara koordinaterna för vektorn som börjar från punkt O (0,0). Vi skriver v = (a, b) för att representera det. Således ritas vektorn v = (1,2) enligt följande:

Vektorexempel som börjar från ursprunget

För att beräkna längden på denna vektor, överväga den högra triangeln som bildas av den och dess projicering på x-axeln (eller y-axeln), som visas i följande bild:

Längd på vektor v

Längden på en vektor v kallas v vektornorm eller vektormodul v och representeras av | v |. Observera att normen för vektorn v = (a, b) är exakt måttet på hypotenusen i triangeln som visas i figuren ovan. För att beräkna detta mått använder vi Pythagoras teorem:

| v |² = den² + b²

| v | = √ (a² + b² )

Produkt för två vektorpunkter

Med tanke på två vektorer u och v representeras den inre produkten mellan dem av och definieras som:

= | u || v | · cosθ

Detta är en slags multiplikation mellan två vektorer, men det kallas inte en produkt eftersom det inte är en vanlig multiplikation, eftersom det involverar den vinkel som bildas av dessa två vektorer.

Vinkel mellan två vektorer

Det första resultatet som härrör från definitionen ovan är vinkeln mellan två vektorer. Med de verkliga siffrorna "punktprodukt", "u vektornorm" och "v vektornorm" är det möjligt att beräkna vinkeln mellan vektorerna u och v. För att göra detta, gör bara beräkningarna:

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Därför, genom att dela den inre produkten med normerna för vektorerna u och v, hittar vi det verkliga talet som hänvisar till cosinus mellan dessa två vektorer och därför vinkeln mellan dem.

Observera att om vinkeln mellan två vektorer är rak, är cosθ lika med noll. Därför kommer ovanstående produkt att ha följande resultat:

= 0

Av detta kan man dra slutsatsen att, med tanke på två vektorer u och v, kommer de att vara ortogonala om = 0.

Inre produkt beräknad från vektorkoordinater

Med tanke på de två vektorerna u = (a, b) och v = (c, d) ges punktprodukten mellan u och v av:

= = a · c + b · d

Interna produktegenskaper

Med tanke på vektorerna u, v och w och det verkliga talet α, notera:

i) =

Detta innebär att den inre produkten av vektorer är ”kommutativ”.

ii) = +

Denna egenskap är jämförbar med multiplikationens fördelningsförmåga jämfört med addition.

iii) = = α

Att beräkna den inre produkten mellan u och v multiplicerat med det verkliga talet α är detsamma som att beräkna den inre produkten mellan αv och u eller mellan v och αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Den inre produkten av v med v är bara noll om v är nullvektorn.

v) ≥ 0 för alla v.

Den inre produkten av v med v kommer alltid att vara större än eller lika med noll.

Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm