Ekvation: vad är det, grundläggande begrepp, typer, exempel

Ett ekvation är en matematisk mening som har en likhet och åtminstone en okänd, det vill säga när vi har medverkan av a algebraiskt uttryck och en jämlikhet. Studiet av ekvationer kräver förkunskaper, såsom studiet av numeriska uttryck. Syftet med en ekvation är hitta det okända värdet som gör jämlikhet till en identitet, det vill säga en sann jämlikhet.

Läs också:Operationer med bråk - hur man beräknar?

Grundläggande begrepp för ekvationsstudie

En ekvation är en matematisk mening som har en okänd, åtminstone, och en jämlikhet, och vi kan rangordna det efter dess antal okända. Se några exempel:

a) 5t - 9 = 16

Ekvationen har en okänd, representerad av bokstaven t.

b) 5x + 6y = 1

Ekvationen har två okända, representerade av bokstäverna x och y.

c) t⁴ - 8z = x

Ekvationen har tre okända, representerade av bokstäverna ok,z och x.

Oavsett ekvationen måste vi ta hänsyn till din universumset,består av alla möjliga värden som vi kan tilldela det okända, denna uppsättning representeras av bokstaven U.

• Exempel 1

Tänk på ekvationen x + 1 = 0 och dess möjliga lösning x = –1. Tänk nu på att universumsatsen för ekvationen är naturlig.

Observera att den förmodade lösningen inte tillhör universumsatsen, eftersom dess element är alla möjliga värden som det okända kan ta, så x = –1 är inte lösningen på ekvationen.

Naturligtvis, ju större antal okända, desto svårare är det att bestämma din lösning. DE lösning eller källa av en ekvation är en uppsättning av alla värden som, när de tilldelas det okända, gör jämställdheten sann.

• Exempel 2

Tänk på ekvationen med okända 5x - 9 = 16, kontrollera att x = 5 är lösningen eller roten till ekvationen.

Så att det är möjligt att säga det x = 5 är lösningen i ekvationen, måste vi ersätta detta värde i uttrycket, om vi hittar en sann jämlikhet kommer antalet att vara den testade lösningen.

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Se till att jämställdheten som finns är sant, så vi har en identitet och siffran 5 är en lösning. Så vi kan säga att lösningsuppsättningen ges av:

S = {5}

• Exempel 3

Tänk på ekvation t² = 4 och kontrollera om t = 2 eller t = –2 är lösningar på ekvationen.

Analogt bör vi ersätta värdet av t i ekvationen, men notera att vi har två värden för det okända och därför bör vi utföra verifieringen i två steg.

Steg 1 - För t = 2

t²= 4

2² = 4

4 = 4

Steg 2 - För t = –2

t² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Se för t = 2 och t = - 2 vi hittar en identitet, så dessa två värden är lösningar på ekvationen. Således kan vi säga att lösningen är:

S = {2, –2}

Ekvationstyper

Vi kan också klassificera en ekvation om den position som de okända intar. Se huvudtyperna:

• Polynomiska ekvationer

På polynomekvationer kännetecknas av att ha ett polynom lika med noll. Se några exempel:

De) 6t³+ 5t²–5t = 0

Siffrorna6, 5 och –5 är koefficienterna för ekvationen.

B) 9x – 9= 0

Siffrorna 9 och – 9 är koefficienterna för ekvationen.

c) y²– y – 1 = 0

Siffrorna 1, – 1 och – 1 är koefficienterna för ekvationen.

• Ekvationsgrader

Polynomekvationer kan klassificeras efter deras grad. Så väl som polynom, graden av en polynomekvation ges av högsta effekt som har en koefficient som inte är noll.

Från de föregående exemplen a, b och c har vi att ekvationsgraden är:

a) 6t³ + 5t² –5t = 0 → Polynomekvation av tredje graden

b) 9x - 9 = 0 → Polynomekvation av första graden

ç) y² - y - 1 = 0 → Polynomekvation av gymnasium

Läs också: kvadratisk ekvationu: hur man beräknar, typer, exempel

• rationella ekvationer

Rationella ekvationer kännetecknas av att de har sina okända i nämnaren av a fraktion. Se några exempel:

Läs också: Vad är rationella tal?

• irrationella ekvationer

På irrationella ekvationer kännetecknas av att de har sina okända inom en nionde rot, det vill säga inuti en radikal som har index n. Se några exempel:

• exponentiella ekvationer

På exponentiella ekvationer ha okända i exponenten av en potens. Se några exempel:

• logaritmisk ekvation

På logaritmiska ekvationer kännetecknas av att ha en eller flera okända i någon del av logaritm. Vi kommer att se att ekvationen faller i några av de tidigare fallen när definitionen av logaritmen tillämpas. Se några exempel:

Se också: Första grads ekvation med en okänd

Hur löser jag en ekvation?

För att lösa en ekvation måste vi studera metoder som används i varje typ, det vill säga för varje typ av ekvation, det finns en annan metod för att bestämma de möjliga rötterna. Men alla dessa metoder är härledd från ekvivalensprincipen, med det är det möjligt att lösa huvudtyperna av ekvationer.

• Likvärdighetsprincip

Den andra likvärdighetsprincipen, vi kan fritt arbeta på ena sidan av en jämlikhet så länge vi gör detsamma på den andra sidan av jämlikheten. För att förbättra förståelsen kommer vi att namnge dessa sidor.

Därför säger ekvivalensprincipen att det är möjligt kör på den första lemmen fritt så länge som samma operation görs på den andra medlemmen.

För att verifiera likvärdighetsprincipen, överväga följande jämlikhet:

5 = 5

Låt oss gå nu tillägga på båda sidor siffran 7, och notera att jämlikheten fortfarande kommer att vara sant:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Låt oss gå nu subtrahera 10 på båda sidor av jämställdheten, notera igen att jämlikheten fortfarande kommer att vara sant:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

se att vi kan multiplicera eller dela med sig och höja till en potens eller till och med extrahera en källa, så länge det görs på den första och andra medlemmen, kommer jämställdheten alltid att vara sant.

För att lösa en ekvation måste vi använda denna princip tillsammans med kunskapen om de nämnda operationerna. För att underlätta utvecklingen av ekvationerna, låt oss utelämna operationen på den första medlemmen, det motsvarar att säga att vi skickar numret till den andra medlemmen och ändrar tecknet för det motsatta.

Idén att bestämma lösningen på en ekvation är alltid isolera det okända med ekvivalensprincipen, Se:

• Exempel 4

Använd ekvivalensprincipen och bestäm lösningsuppsättningen för ekvationen 2x - 4 = 8 med vetskap om att universumuppsättningen ges av: U = ℝ.

2x - 4 = 8

För att lösa en polynomekvation av den första graden måste vi lämna det okända i det första ledet isolerat. För detta tar vi numret –4 från den första medlemmen och lägger till 4 på båda sidor, eftersom –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Observera att det att utföra denna process motsvarar att bara skicka nummer 4 med motsatt tecken. Så, för att isolera det okända x, låt oss överföra siffran 2 till den andra medlemmen, eftersom den multiplicerar x. (Kom ihåg: den inversa funktionen av multiplikation är division). Det skulle vara detsamma som att dela båda sidor med 2.

Därför ges lösningsuppsättningen av:

S = {6}

• Exempel 5

Lös ekvation 2^{x + 5} = 128 att veta att universumsatsen ges av U = ℝ.

För att lösa den exponentiella ekvationen, låt oss först använda följande potentieringsegenskap:

De^{m + n} = den^m · A^Nej

Vi kommer också att använda det faktum att 2² = 4 och 2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^x · 2⁵ = 128

2^x · 32 = 128

Observera att det är möjligt att dela båda sidor med 32, det vill säga överföra siffran 32 till den andra delen genom att dela.

Så vi måste:

2^x = 4

2^x = 2²

Det enda värdet på x som uppfyller jämställdhet är siffran 2, så x = 2 och lösningsuppsättningen ges av:

S = {2}

Ekvationer finns inom flera vetenskapsområden.

lösta övningar

fråga 1 - Tänk på det inställda universum U = ℕ och bestäm lösningen på följande irrationella ekvation:

Upplösning

För att lösa denna ekvation måste vi vara intresserade av att eliminera roten till den första medlemmen. Observera att för detta måste vi höja den första medlemmen till samma index som roten, det vill säga till kuben. Enligt likvärdighetsprincipen måste vi också höja den andra jämställdhetsmedlemmen.

Observera att vi nu måste lösa en polynomekvation av andra graden. Låt oss överföra siffran 11 till den andra delen (subtrahera 11 på båda sidor av jämställdheten) för att isolera det okända x.

x² = 27 – 11

x² = 16

Nu för att bestämma värdet på x, se att det finns två värden som uppfyller jämställdhet, x ’= 4 eller x’ ’= –4, en gång:

4² = 16

och

(–4)² = 16

Observera emellertid i uttalandet av frågan att den givna universumuppsättningen är uppsättningen med naturliga tal och att numret –4 inte tillhör det, och därför ges lösningsuppsättningen av:

S = {4}

fråga 2 - Tänk på polynomekvationen x² + 1 = 0 med vetskap om att universumsatsen ges av U = ℝ.

Upplösning

För ekvivalensprincipen, dra 1 från båda medlemmarna.

x² + 1 – 1= 0 – 1

x² = – 1

Observera att jämlikhet inte har någon lösning, eftersom universumsatsen är de verkliga siffrorna, det vill säga alla värden som det okända kan anta är verkliga, och det finns inget verkligt tal som, när det är kvadrat, är negativ.

1² = 1

och

(–1)² = 1

Därför har ekvationen ingen lösning i uppsättningen realer, och därmed kan vi säga att lösningsuppsättningen är tom.

S = {}

av Robson Luiz
Mattelärare