Polyhedra (från latin poly - många - och hedron - ansikte) är siffrortredimensionell bildas av föreningen av vanliga polygoner, i vilka polyhedralvinklarna alla är kongruenta. Föreningen av dessa polygoner bildar element som utgör polyeder, de är: hörn, kanter och ansikten. Men inte varje tredimensionell figur är en polyeder, ett exempel på detta är figurer som har böjda ansikten kallas runda kroppar.
Det finns en matematisk formel som relaterar elementen i en polyeder kallad Eulers förhållande. Dessutom är polyedrar uppdelade i två grupper: den så kallade polyedern konvex och den inte konvex. Vissa polyeder förtjänar särskild uppmärksamhet, de kallas Platons polyeder: tetraeder, hexahedron, oktaeder, dodekaeder och icosahedron.
Läs också: Skillnader mellan platta och rumsliga figurer
konvex polyeder
En polyeder kommer att vara konvex när den bildas av polygoner konvex, så att följande villkor godtas:
- två av polygonerna Aldrig de är i samma plan, det vill säga de tillhör inte samma plan.
- Varje sida av en av dessa polygoner tillhör endast två polygoner.
- Planet som innehåller någon av dessa polygoner lämnar de andra polygonerna i samma halvrum.
Läs också:Summan av inre och yttre vinklar för en konvex polygon
Element av en konvex polyeder
Tänk på denna konvexa polyeder:
Du fyrkantiga i figuren kallas ansikten av polyhedronen.
Du pentagoner är ansikten och basen på polyhedronen, som heter femkantig baspolyeder.
De segment som bildar var och en av ansikten kallas kanter av polyhedronen.
De punkter där kanterna möts kallas hörn.
Linjesegmentet JC kommer att anropas diagonal av polyeder, betecknad med:
JC är en av diagonalerna, förstår vi diagonal av polyhedronen som linjesegmentet som sammanfogar två hörn som inte tillhör samma ansikte.
Vi har också den polyhedrala vinkeln, formad mellan kanterna, betecknad med:
En polyhedral vinkel kallas a trihedral När tre kanterna härrör från ett toppunkt. På samma sätt kallas det tetraeder, fall fyra kanterna härstammar från ett toppunkt och så vidare.
Från och med nu kommer vi att skapa några noteringar, de är:
Veta mer: Planering av geometriska fasta ämnen
Egenskaper hos en konvex polyeder
Fastighet 1
Summan av kanterna på alla ytor är lika med dubbelt så många som polyederns kanter.
Exempel
En polyeder har 6 kvadratiska ytor. Låt oss bestämma antalet kanter.
Enligt egenskapen multiplicerar du bara antalet kanter på ett ansikte med antalet ansikten, och detta är lika med två gånger antalet kanter. Således:
Fastighet 2
Summan av topparna på alla ytor är lika med summan av kanterna på alla ytor, vilket är lika med dubbelt så många kanter.
Exempel
En polyeder med 5 tetraedervinklar och 4 hexahedriska vinklar. Låt oss bestämma antalet kanter.
Analogt med föregående exempel säger den andra egenskapen att summan av kanterna på alla ansikten är lika med dubbelt så många kanter. Antalet kanter ges av produkten från 5 av 4 och 4 av 6, eftersom de är 5 tetraedriska och 4 hexahedriska vinklar. Således:
Konkav (icke-konvex) polyeder
En polyeder är icke-konvex eller konkav när vi tar två punkter på olika ansikten och den raka r som innehåller dessa punkter finns inte alla i polyhedronen.
Observera att den raka linjen (i blått) inte är komplett i polyederet, så polyhedronen (i rosa) är konkav eller icke-konvex.
vanlig polyeder
Vi säger att en polyeder är regelbunden när dina ansikten är vanliga polygoner lika med varandra och med polyedervinklarna lika.
Se några exempel:
Lägg märke till att alla dina ansikten är vanliga polygoner. Dess ansikten är formade av rutor och kanterna är alla kongruenta, det vill säga de har samma mått.
läsaockså: Vad är vanliga och konvexa polygoner?
Eulers förhållande
Också känd som Eulers sats, resultatet bevisades av Leonhard Euler (1707 - 1783) och garanterar att i alla stängda konvexa polyeder följande förhållande är giltigt:
Platons polyeder
Varje polyeder som uppfyller följande villkor kallas Platons polyeder:
Euler-förhållandet är giltigt
Alla ansikten har samma antal kanter
Alla polyedervinklar har samma antal kanter
Det är bevisat att det bara finns fem vanliga och konvexa polyeder, eller Platons polyeder, de är:
vanlig tetraeder
tetraeder har 4 triangulära ansikten kongruent och 4 trihedral vinklar kongruent.
vanlig hexahedron
hexahedronen har 6 fyrkantiga ansikten kongruent och 8 trekantiga vinklar kongruent.
vanlig oktaeder
oktaedronen har 8 triangulära ansikten kongruent och 6 tetraedriska vinklar kongruent.
vanlig dodecahedron
dodecahedron har 12 femkantiga ansikten kongruent och 20 vinklartrihedral kongruent.
vanlig icosahedron
Icosahedronen har 20 triangulära ansikten kongruent och 12 pentahedriska vinklar kongruent.
lösta övningar
1) (Enem) En juvel klipptes i form av en konvex polyeder med 32 ansikten, varav 20 är hexahedra och resten är femkantiga. Denna juvel kommer att vara en gåva till en dam som firar sin födelsedag och fullföljer en ålder vars antal är antalet hörn i denna polyeder. Den här damen slutför:
a) 90 år
b) 72 år gammal
c) 60 år gammal
d) 56 år gammal
e) 52 år gammal
Lösning:
Ger fastighet 1 av konvex polyeder vet vi att:
Nu hur vi vet antalet kanter det är antal ansikten, vi kan använda Euler-relationen.
Eftersom åldern du fyller i är lika med antalet hörnpunkter, då är det 60 år. Alternativ c.
2) (PUC-SP) Hur många kanter har en konvex polyeder med triangulära ytor där antalet hörn är tre femtedelar av antalet ansikten?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Lösning:
Från egenskaperna hos en konvex polyeder och träningsuttalandet har vi:
Genom att ersätta dessa värden i Euler-relationen har vi följande:
Organisera den tidigare ekvationen och lösa ekvationen i F, det följer att:
Genom att ersätta värdet på antalet ansikten som finns i kantekvationen har vi:
Alternativ b
av Robson Luiz
Mattelärare
