DE algebraisk uttrycksfaktorisering består av att skriva ett algebraiskt uttryck i produktform. I praktiska fall, det vill säga i lösningen av några problem som medför algebraiska uttryckär faktorisering extremt användbar eftersom det i de flesta situationer förenklar det bearbetade uttrycket.
För att utföra faktorisering av algebraiska uttryck använder vi ett mycket viktigt resultat i matematik som kallas grundläggande sats för aritmetik, som säger att alla heltal större än 1 kan skrivas som produkten av primtal, Se:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Vi räknade bara ut siffrorna 121 och 60.
Läs också: Sönderdelning av ett tal i huvudfaktorer
Metoder för att faktorisera algebraiska uttryck
Nu kommer vi att se de viktigaste faktoriseringsmetoderna, de mest använda vi kommer att göra en kort geometrisk motivering. Se:
Bevis factoring
Tänk på rektangeln:
Observera att rektangel blå plus området för den gröna rektangeln resulterar i den större rektangeln. Låt oss titta på vart och ett av dessa områden:
DEBLÅ = b · x
DEGRÖN = b · y
DESTÖRRE = b · (x + y)
Så vi måste:
DESTÖRRE = ABLÅ + AGRÖN
b (x + y) = bx + med
Exempel
De) För att ta hänsyn till uttrycket: 12x + 24y.
Observera att 12 är bevisfaktorn, eftersom den visas i båda paketen, så för att bestämma siffrorna som går inom parentes, räcker det dela med sig varje paket med faktorn.
12x: 12 = x
24 år: 12 = 2 år
12x + 24y = 12 · (x + 2 år)
B) Att faktoruttryck 21ab2 - 70: e2B.
På samma sätt bestäms ursprungligen bevisfaktorn, det vill säga den faktor som upprepas i paketen. Se att från den numeriska delen har vi 7 som en gemensam faktor, eftersom det är den som delar upp båda siffrorna. När det gäller den bokstavliga delen, se nu att endast faktorn upprepas abdärför är bevisfaktorn: 7ab.
21ab2 - 70: e2b = 7ab (3b - 10De)
Läs också: Polynomavdelning: hur man gör det?
Faktorisering genom gruppering
Faktoriseringen genom gruppering är som härrör från factoring genom bevis, den enda skillnaden är att istället för att ha ett monomium som en gemensam faktor eller en bevisfaktor, kommer vi att ha en polynom, se exemplet:
Tänk på uttrycket (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Observera att den gemensamma faktorn är binomialet (a + b),därför är den fakturerade formen av det tidigare uttrycket:
(a + b) · (Xy + wz2)
skillnad mellan två rutor
Tänk på två siffror a och b, när vi har a skillnad av kvadraten av dessa siffror, det vill säga2 - B2så att vi kan skriva dem som produkt av summan för skillnaddvs:
De2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Exempel
De) Att faktorisera uttrycket x2 - y2.
Vi kan använda skillnaden mellan två rutor, så:
x2 - y2 = (x + y) · (x - y)
B) Att faktor 20202 – 2.0192.
Vi kan använda skillnaden mellan två rutor, så:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomial av det perfekta torget
Ta nästa fyrkant från sidan (a + b) och notera områdena på rutorna och rektanglarna som bildas inuti den.
Se området för fyrkant större ges av (a + b)2, men å andra sidan kan området för det största torget erhållas genom att lägga till rutorna och rektanglarna inuti det, så här:
(a + b)2 = den2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = den2+ 2b + b2
(a + b)2 = den2 + 2ab + b2
På samma sätt måste vi:
(a - b)2 = den2 - 2ab + b2
Exempel
Tänk på uttrycket x2 + 12x + 36.
För att faktorisera ett uttryck av denna typ, identifiera bara koefficienten för variabeln x och den oberoende koefficienten, och jämför med den givna formeln, se:
x2 + 12x + 36
De2 + 2ab + b2
Gör jämförelserna, se att x = a, 2b = 12 och b2 = 36; av likheterna har vi att b = 6, så det fakturerade uttrycket är:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
High School Trinomial
Tänk på axen trinomial2 + bx + c. Dess fakturerade form kan hittas med dina rötter, det vill säga värdena på x som nollställer det uttrycket. För att bestämma värdena som gör detta uttryck noll, löser du bara ekvationsaxeln2 + bx + c = 0 med vilken metod som helst som är lämplig. Här lyfter vi fram den mest kända metoden: Bhaskara-metoden.
Den fakturerade formen av axen trinomial2 + bx + c är:
yxa2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Exempel
Tänk på uttrycket x2 + x - 20.
Det första steget är att bestämma rötterna för x-ekvationen.2 + x - 20 = 0.
Så den fakturerade formen av uttrycket x2 + x - 20 är:
(x - 4) · (x + 5)
Kub av skillnaden mellan två siffror
Kuben för skillnaden mellan två siffror a och b ges av:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Kub av summan av två siffror
På samma sätt har vi det (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 snart:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
lösta övningar
fråga 1 - (Cefet-MG) Där talet n = 6842 – 6832, summan av siffrorna i n är:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Upplösning
Alternativ d. För att bestämma summan av siffrorna i n faktoriserar vi först uttrycket, eftersom det är onödigt att beräkna kvadraterna och sedan subtrahera. Med beaktande av uttrycket med hjälp av skillnaden mellan två rutor har vi:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1367 · 1
n = 1367
Därför ges summan av siffrorna av n med 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Fråga 2 - (Modified Insper-SP) Bestäm uttryckets värde:
Upplösning
För att göra noteringen enklare, låt oss namnge a = 2009 och b = 2. kom ihåg att 22 = 4, så vi måste:
Lägg märke till att vi i skillnadens täljare har skillnaden mellan två rutor så att vi kan skriva2 - B2 = (a + b) (a - b). Snart:
a - b = 2009-2 = 2007.
av Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm