DE kombinatorisk analys är ett studieretning inom matematik associerat med räkningsregler. I början av 1700-talet fick studiet av spel med tärningar och kort att räkenskapsteorierna fick en stor utveckling.
Arbetet med kombinatorik möjliggör realisering av allt mer exakta räkningar.Den grundläggande principen för att räkna (PFC), faktoria och typer av gruppering är exempel på begrepp som studerats i kombinatorisk analys, som, förutom att tillhandahålla större precision hjälper Nejutvecklingen av andra matematiska områden, såsom De sannolikhet och O Newtons binomial.
Läs också: arrangemang eller çkombination?
Vad är kombinatorisk analys för?
Kombinationsanalys är associerad med räkningsprocessen, det vill säga studiet av detta matematiska område gör att vi kan utveckla verktyg som hjälper oss att utföra räknas mer effektivt. Låt oss titta på ett typiskt räkneproblem, se:
Exempel 1
Tänk på tre städer A, B och C förbundna med motorvägar R1, R2, R3, R4 och R5. Bestäm hur många sätt vi kan komma från stad A till stad C via stad B.
Observera att vi måste lämna stad A och åka till stad B, och först då kan vi resa till stad C, så låt oss analysera alla möjligheter för att genomföra evenemanget efter motorvägarna.
1: a vägen: R1 → R3
2: a vägen: R1 → R4
3: e vägen: R1 → R5
4: e vägen: R2 → R3
5: e vägen: R2 → R4
6: e vägen: R2 → R5
Så vi har sex olika sätt att komma från stad A till stad C via stad B. Observera dock att det föreslagna problemet är relativt enkelt och att den utförda analysen var lite mödosam. Så från och med nu ska vi studera mer sofistikerade verktyg som gör det möjligt att lösa problem med mycket mindre arbete.
Grundläggande räknarprincip (PFC)
Tänk på en händelse E som kan utföras i oberoende och på varandra följande steg. Tänk nu på att antalet möjligheter att utföra det första steget är lika med P1, föreställ dig också att antalet möjligheter att genomföra det andra steget är P2, och så vidare, tills vi når det sista steget, som har PNej möjligheter att utföra.
Den grundläggande principen om att räkna (PFC) säger att totala möjligheter att hålla evenemanget E ges av:
P1 · P2 ·… · PNej
Således ges summan av produkten av möjligheterna för vart och ett av de steg som utgör händelse E. Observera att, för att bestämma de totala möjligheterna för att hålla händelse E, är det nödvändigt att känna till de totala möjligheterna för varje steg.
Exempel 2
Låt oss göra om exempel 1 med den grundläggande räknarprincipen.
Tänk på bilden i exempel 1.
Observera att evenemanget kan köras i två steg, det första går från stad A till stad B och det andra går från stad B till stad C. För att genomföra det första steget har vi två möjligheter (vägar R1 och R2) och för att genomföra det andra steget har vi tre möjligheter (R3, R4 och R5).
Första steget → två möjligheter
2: a etappen → tre möjligheter
Enligt den grundläggande räknarprincipen måste vi multiplicera de totala möjligheterna för varje steg.
2 · 3
6
Därför har vi totalt sex möjligheter att gå från stad A till stad C via stad B.
Exempel 3
På hur många sätt kan de tre olympiska medaljerna delas ut i en tävling om mountainbike med fem konkurrenter?
Att organisera utdelningen av medaljer är en händelse som kan genomföras i tre steg. Det första steget är att analysera de totala möjligheterna för vem som får guldmedaljen, det vill säga fem möjligheter.
Det andra steget är att analysera möjligheterna för vem som kommer att få silvermedaljen, det vill säga fyra, eftersom det första valet inte går in. Det tredje steget är att analysera de totala möjligheterna för vem som får bronsmedaljen, det vill säga tre, eftersom de två första redan har valts.
Första steget → fem möjligheter
2: a etappen → fyra möjligheter
3: e etappen → tre möjligheter
Så enligt den grundläggande räknarprincipen har vi:
5 · 4 · 3
60 möjligheter
Se också: Princip för tillsatsräkning - förening av en eller flera uppsättningar
Faktor
O faktoria är ett sätt att sönderdela ett naturligt tal. För att beräkna faktorn för ett tal, multiplicera det bara med alla dess föregångare upp till siffran 1. Fabriken representeras av utropstecknet - "!".
Se några exempel på hur man beräknar faktorn för vissa nummer.
De) 2! (läser: två faktoria)
För beräkningen multiplicerar du bara antalet som följer med faktorn med alla dess föregångare upp till siffran 1, så här:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formellt kan vi skriva faktorn enligt följande:
Betrakta ett naturligt tal n> 2. Fabriken för n indikeras av n! och ges genom att multiplicera n med alla dess positiva heltal föregångare.
Nej! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Observera följande fakta:
4! och 5!
Utför nu utvecklingen av båda:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Observera att i utvecklingen av 5! verkar utvecklingen av 4!. Så vi kan skriva 5! Således:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Exempel 4
Beräkna den faktiska sektjut:
Se att de 15! utvecklades fram till 13!. Observera också att elementen multipliceras i räknaren för fraktionen så att vi kan "klippa" 13!, vilket resulterar i endast 15 · 14.
Observation:0! = 1
Grupperingstyper
Vissa räkneproblem är mer komplexa och lättare att lösa med nya verktyg. Dessa verktyg kallas gruppering eftersom de grupperar element på olika sätt, vilket gör räkningsprocessen enklare. Dessa grupperingar är: enkelt arrangemang, permutation och enkel kombination.
enkelt arrangemang
Tänk på en uppsättning med n distinkta element. låt oss kalla det arrangemang från n elementen tagna från p till p, vilken sekvens som helst ordnad av p, och de distinkta element som valts bland elementen.
Således kommer antalet delmängder som bildas av p-elementen att vara arrangemanget av n-element tagna från p till p. Formeln som låter oss beräkna antalet arrangemang ges av:
Exempel 5
Beräkna värdet på A.4,2 + A5,2.
För att beräkna uttrycksvärdet, låt oss bestämma var och en av matriserna och lägg sedan till dessa värden. För att bestämma värdet för varje matris måste vi ersätta värdena i formeln.
Observera att n = 4 och p = 2, båda har ersatts med formeln. Nu måste vi beräkna värdet på matrisen med fem element tagna två och två.
Så vi måste:
DE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Exempel 6
Hur många distinkta fyrsiffriga naturliga tal kan bildas med siffrorna 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9?
I detta problem kan vi använda det enkla arrangemanget, sedan 2435 ≠ 4235. Vi kommer att se att elementens ordning i vissa fall inte skiljer dem åt och därför kan vi inte använda arrangemanget.
Eftersom vi vill bestämma det totala antalet som kan bildas, märker att det totala antalet element är lika med åtta, och vi vill gruppera dem fyra efter fyra, så:
enkel permutation
Tänk på en uppsättning med n-element. låt oss kalla det enkel permutation av n element varje arrangemang av n element taget n till n. Så vi måste:
Så att det inte finns någon förvirring mellan begreppen, låt oss beteckna den enkla permutationen av n-element av PNej. Så vi måste:
PNej = n!
Exempel 7
Beräkna P7 och P3.
För att beräkna dessa permutationer måste vi ersätta värdena i formeln. Se:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Exempel 8
Bestäm hur många anagram det kan finnas i ordet Brasilien.
Vi förstår som anagram alla möjliga transpositioner av bokstäverna i ordet, till exempel "Lisarb" är en anagram av ordet Brasilien. För att bestämma antalet anagram måste vi beräkna permutationen av bokstäverna i ordet, så vi måste:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Därför har ordet Brasilien 720 anagram.
Också tillgång: Permutation med upprepade element
enkel kombination
Tänk på en uppsättning A med n distinkta element. låt oss kalla det kombination av n-elementen tagna p till p valfri delmängd av A bildad av p-element. Formeln för beräkning av kombinationen ges av:
Exempel 9
Beräkna kombinationen av tio element tagna från fyra till fyra.
Exempel 10
Hur många fyrkantiga tydligt kan vi bilda med hörn vid punkterna A, B, C, D, E och F?
Observera att ABCD-fyrsidan är densamma som CDBA-fyrsidan i detta sammanhang, så vi ska använda kombinationen och inte matriser. Vi har totalt sex poäng och vi vill kombinera dem fyra och fyra, så här:
Därför kan vi bilda 15 olika fyrkantiga sidor.
Kombinatorisk analys och sannolikhet
Studien av sannolikheten är nära relaterad till studien av kombinatorisk analys.. I vissa sannolikhetsproblem är det nödvändigt att bestämma samplingsutrymmet, som består av en uppsättning som bildas av alla möjliga resultat av en given händelse.
I vissa fall skrivs provutrymmet E mycket direkt, som i vändningen av ett rättvist mynt, där de möjliga resultaten är huvuden eller svansar och betecknas enligt följande:
E = {huvuden, svansar}
Föreställ dig nu följande situation: en matris kastas tre gånger i rad och vi är intresserade av att bestämma provutrymmet för detta experiment. Observera att att skriva ner alla möjligheter inte längre är en enkel uppgift, vi måste använda den grundläggande räknarprincipen (PFC). Evenemanget kan utföras i tre steg, i vart och ett av dem har vi sex möjligheter, eftersom en form har sex ansikten, så här:
1: a etappen → sex möjligheter
2: a etappen → sex möjligheter
3: e etappen → sex möjligheter
Av PFC har vi att de totala möjligheterna är:
6 · 6 · 6
216
Så vi kan säga att provutrymmet för denna händelse är 216.
Se att för sannolikhetsstudien är det en grundläggande kunskap om kombinatorisk analys krävs., för utan att bestämma provets utrymme för ett experiment är det omöjligt att lösa de allra flesta sannolikhetsövningar. För mer detaljer om detta matematiska fält, läs texten:Sannolikhet.
lösta övningar
fråga 1 - Bestäm antalet anagram av ordet slott. Bestäm sedan antalet anagram som börjar med bokstaven c.
Upplösning
För att bestämma antalet anagram måste vi beräkna permutationen av antalet bokstäver så här:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Ordet har 5040 anagram. För att bestämma antalet anagram som börjar med bokstaven c måste vi fixa bokstaven och beräkna de andras anagram, se:
Ç__ __ __ __ __ __
När vi fixar bokstaven c, notera att det finns sex fält kvar för att beräkna permutationen, så här:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Så vi har 720 anagram över ordet slott som börjar med bokstaven c.
fråga 2 - I ett klassrum finns det fem män och sju kvinnor. Hur många grupper om tre män och fyra kvinnor kan bildas?
Upplösning
Se först att den ordning vi väljer människor inte spelar någon roll, till exempel den grupp som João bildade, Marcos och José är samma grupp bildad av Marcos, João och José, därför måste vi använda kombinationen för beräkning.
Låt oss beräkna separat antalet grupper som kan bildas av män och kvinnor och in Låt oss sedan multiplicera dessa resultat, för varje grupp män kan blanda sig med varje grupp av kvinnor.
Män
Totalt → 5
Mängd i grupp → 3
Kvinnor
Totalt → 7
Mängd i grupp → 4
Därför är det totala antalet grupper som kan bildas av tre män och fyra kvinnor:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
av Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm