förståelsen för uppsättningar är den viktigaste grunden för studien av algebra och begrepp av stor betydelse i matematik, såsom funktioner och ojämlikheter. Notationen vi använder för uppsättningar är alltid en stor bokstav från vårt alfabet (t.ex. uppsättning A eller uppsättning B).
I form av representation av uppsättningar, det kan göras av Venn diagramgenom att helt enkelt beskriva egenskaperna hos dess element, genom att räkna upp elementen eller genom att beskriva deras egenskaper. När du arbetar med problem som involverar uppsättningar finns det situationer som kräver utförande av operationer mellan uppsättningar, att vara unionen, korsningen och skillnaden. Ska vi studera allt detta i detalj?
Se också: Numeriska uttryck - lär dig att lösa dem!
Notering och representation av uppsättningar
För representation av en uppsättning använder vi alltid a alfabetets versaler, och elementen är alltid mellan knapparna och separeras med ett komma. För att representera uppsättningen jämna tal större än 1 och mindre än 20 använder vi till exempel följande notation: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Former för representation av uppsättningar
representation genom uppräkning: vi kan räkna upp dess element, det vill säga göra en lista, alltid mellan hängslen. Se ett exempel:
A = {1,5,9,12,14,20}
som beskriver funktionerna: vi kan helt enkelt beskriva satsens egenskaper. Låt X till exempel vara en uppsättning, vi har att X = {x är ett positivt talmultipel av 5}; Y: är uppsättningen månader av året.
Venn diagram: uppsättningar kan också representeras i form av ett diagram, känt som a Venn diagram, vilket är en mer effektiv representation för att utföra operationer.
Exempel:
Med tanke på uppsättningen A = {1,2,3,4,5} kan vi representera den i följande Venn-diagram:
Element i en uppsättning och medlemsförhållande
Med tanke på vilket element som helst kan vi säga att elementet tillhör till uppsättningen eller tillhör inte till den uppsättningen. För att representera detta medlemsförhållande snabbare använder vi symbolerna
(läs som tillhörande) och ∉ (läs som inte tillhör). Låt till exempel P vara uppsättningen parnummer, kan vi säga att 7 ∉ P och att 12 P.
Likhet med uppsättningar
Jämförelse mellan uppsättningar är oundviklig, så vi kan säga att två uppsättningar är lika eller inte, och kontrollerar vart och ett av dess element. Låt A = {0,1,3,4,8} och B = {8,4,3,1,0}, även om elementen är i olika ordning, kan vi säga att uppsättningarna A och B är lika: A = B.
Inklusionsförhållande
När vi jämför två uppsättningar kan vi stöta på flera relationer, och en av dem är inkluderingsförhållandet. För detta förhållande behöver vi känna till några symboler:
⊃ → innehåller ⊂→ finns
⊅ → innehåller inte ⊄→ingår inte
Tips: Symbolens öppningssida vänder alltid mot den större uppsättningen. |
När alla element i en uppsättning A också tillhör en uppsättning B, säger vi att A ⊂ B eller att A finns i B. Till exempel A = {1,2,3} och B = {1,2,3,4,5,6}. Det är också möjligt att utföra representationen genom Venn diagram, det skulle se ut så här:
A ingår i B:
A ⊂ B
Delmängder
När en inkluderingsförhållande, det vill säga uppsättningen A finns i uppsättningen B, vi kan säga att A är en delmängd av B. Delmängden förblir en uppsättning och en set kan ha flera underuppsättningar, byggd av elementen som tillhör den.
Till exempel: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} har som underuppsättningar uppsättningarna B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} och även uppsättningen A {1,2,3,4,5,6,7,8}, det vill säga A är en delmängd av sig själv.
enhetsuppsättning
Som namnet redan antyder är det det som ställer in det har bara ett element, som den uppsättning D: {1} som visats tidigare. Med tanke på uppsättningen B: {1,2,3} har vi delmängderna {1}, {2} och {3}, som alla är enhetsuppsättningar.
UPPMÄRKSAMHET: Uppsättningen E: {0} är också en enhetlig uppsättning, eftersom den har ett enda element, "0", och det är inte en tom uppsättning.
Läs också: Uppsättning av heltal - element och egenskaper
tom uppsättning
Med ett ännu mer suggestivt namn har den tomma uppsättningen inga element och är en delmängd av vilken uppsättning som helst. För att representera den tomma uppsättningen finns det två möjliga representationer, de är V: {} eller symbolen Ø.
Deluppsättningar
Vi känner som uppsättningar av delar alla möjliga delmängder av en viss uppsättning. Låt A: {1,2,3,4}, vi kan lista alla delmängder av denna uppsättning A med början med uppsättningarna som har inga element (tomma) och sedan de som har ett, två, tre och fyra element, respektive.
tom uppsättning: { };
Enhetsuppsättningar: {1}; {2};{3}; {4}.
Uppsättningar med två element: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
uppsättningar med tre element: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Set med fyra element: {1,2,3,4}.
Därför kan vi beskriva uppsättningen delar av A på detta sätt:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
För att ta reda på hur många delar det är möjligt att dela en uppsättning använder vi formeln:
n [P (A)] = 2Nej
Antalet delar av A beräknas med a potens bas 2 höjd till Nej, på vad Nej är antalet element i uppsättningen.
Tänk på uppsättning A: {1,2,3,4}, som har fyra element. Det totala antalet möjliga delmängder av denna uppsättning är 24 =16.
Läs också: Vad är uppsättningen irrationella tal?
Endlig och oändlig uppsättning
När vi arbetar med uppsättningar hittar vi uppsättningar som är begränsad (ändlig) och de som är obegränsad (oändlig). Uppsättningen av jämna eller udda siffrorär till exempel oändlig och, för att representera det, beskriver vi några av dess element i sekvens, så att det är möjligt att förutsäga vad nästa element kommer att bli, och vi lägger ellipser i Slutlig.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
I en begränsad uppsättning sätter vi dock inte ellipserna i slutet, eftersom den har en definierad början och slut.
A: {1,2,3,4}.
universumset
O universumset, betecknad med U, definieras som den uppsättning som bildas av alla element som måste beaktas inom ett problem. Varje element tillhör universumsatsen och varje uppsättning ingår i universumsatsen.
Operationer med uppsättningar
Operationerna med uppsättningar är: union, korsning och skillnad.
Korsning av uppsättningar
En korsning inträffar när element tillhör samtidigt en eller flera uppsättningar. När vi skriver A∩B letar vi efter element som tillhör både uppsättning A och uppsättning B.
Exempel:
Betrakta A = {1,2,3,4,5,6} och B = {2,4,6,7,8}, elementen som tillhör både uppsättning A och uppsättning B är: A∩B = {2, 4,6}. Representationen av denna operation görs enligt följande:
A∩B
När uppsättningar inte har några element gemensamt är de kända som ojämna uppsättningar.
A∩B = Ø
skillnad mellan uppsättningar
beräkna skillnad mellan två uppsättningar är att leta efter element som bara tillhör en av de två uppsättningarna. Till exempel har A - B som svar en uppsättning som består av element som tillhör uppsättning A och inte tillhör uppsättning B.
Exempel: A: {1,2,3,4,5,6} och B: {2,4,6,7,8}. Observera att A ∩ B = {2,4,6}, så vi har det:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Enhet
Föreningen av två eller flera uppsättningar är går med i dina villkor. Om det finns element som upprepas i båda uppsättningarna skrivs de bara en gång. Till exempel: A = {1,2,3,4,5} och B = {4,5,6,7,10,14}. För att representera unionen använder vi symbolen (läser: En union med B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
För att lära dig mer om dessa operationer och kolla in flera lösta övningar, läs: Operationer med uppsättningar.
Morgan's Laws
Låt A och B vara två uppsättningar och låt U vara universumuppsättningen, det finns två egenskaper som ges av Morgans lagar, nämligen:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç DU ÄRç
Exempel:
Med tanke på uppsättningarna:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Låt oss kontrollera det (A U B)ç = Aç ∩Bç. Så vi måste:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Därför (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
För att kontrollera riktigheten av jämlikhet, låt oss analysera operation Aç ∩Bç:
DEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Sedan, DEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
lösta övningar
01) Tänk på U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} och B: {4,5,6, 7,8,9}. Visa att (A ∩ B)ç = Aç DU ÄRç.
Upplösning:
Första steget: hitta (A ∩ B)ç. För det har vi att A ∩ B = {4,5,6}, så (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2: a steget: hitta enç DU ÄRç. DEç: {7,8,9,10} och Bç: {1,2,3,10}, så Aç DU ÄRç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Det visas att (A ∩ B)ç = Aç DU ÄRç.
02) Att veta att A är en uppsättning jämna siffror från 1 till 20, vad är det totala antalet underuppsättningar vi kan bygga från elementen i den uppsättningen?
Upplösning:
Låt P vara den beskrivna uppsättningen, vi har den P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Därför är antalet element i P 10.
Enligt uppsättningen delteori är antalet möjliga delmängder av P:
210=1024
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
