Motivationen för studiet av operationer mellan uppsättningar kommer från den lätthet de ger för att lösa vardagliga numeriska problem. Vi kommer att använda några grafiska verktyg, till exempel Venn diagram-Euler, för att definiera huvudoperationerna mellan två eller flera uppsättningar, nämligen: förening av uppsättningar, skärningspunkt mellan uppsättningar, skillnad mellan uppsättningar och kompletterande uppsättning.
förening av uppsättningar
Föreningen mellan två eller flera uppsättningar kommer att vara en ny uppsättning bestående av element som tillhör minst en av uppsättningarna i fråga. Formellt ges fackföreningsuppsättningen av:
Låt A och B vara två uppsättningar, föreningen mellan dem bildas av element som tillhör uppsättning A eller uppsättning B.
Med andra ord, bara gå med i elementen av A med de av B.
Exempel:
a) Tänk på uppsättningarna A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} och B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x är ett naturligt jämnt tal} och B {y | y är ett naturligt udda tal}
Föreningen av alla naturliga jämlikheter och alla naturliga odds resulterar i hela uppsättningen naturliga tal, så vi måste:
Korsning av uppsättningar
Korsningen mellan två eller flera uppsättningar kommer också att vara en ny uppsättning bildad av element som samtidigt tillhör alla inblandade uppsättningar. Formellt har vi:
Låt A och B vara två uppsättningar, skärningspunkten mellan dem bildas av element som tillhör uppsättning A och uppsättning B. Således måste vi bara överväga de element som finns i båda uppsättningarna.
Exempel
a) Tänk på uppsättningarna A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} och C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
Uppsättningen som inte har några element kallas tom uppsättning och det kan representeras på två sätt.
Läs också: Ställ in definition
skillnad i uppsättningar
Skillnaden mellan två uppsättningar, A och B, ges av elementen som tillhör A och Nej tillhör B.
I Venn-Euler-diagrammet är skillnaden mellan uppsättningarna A och B:
Exempel
Tänk på uppsättningarna A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} och C = {}. Låt oss bestämma följande skillnader.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Observera att i uppsättning A - B tar vi ursprungligen uppsättning A och “tar ut” elementen från uppsättning B. I uppsättningen A - C tar vi A och “tar ut” tomrummet, det vill säga inget element. Slutligen, i C - A tar vi den tomma uppsättningen och "tar ut" elementen från A, som i sin tur inte längre fanns där.
Läs också: Viktiga noteringar om uppsättningar
Kompletterande uppsättningar
Betrakta uppsättningar A och B, där uppsättning A ingår i uppsättning B, det vill säga varje element i A är också ett element av B. Skillnaden mellan uppsättningarna, B - A, kallas komplementet för A med avseende på B. Med andra ord, det komplementära bildas av varje element som inte tillhör uppsättning A i förhållande till uppsättning B, där det ingår.
Exempel
Tänk på uppsättningarna A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} och B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Komplementet av A i förhållande till B är:
lösta övningar
fråga 1 - Tänk på uppsättningarna A = {a, b, c, d, e, f} och B = {d, e, f, g, h, i}. Bestäm (A - B) U (B - A).
Lösning
Inledningsvis bestämmer vi uppsättningarna A - B och B - A och sedan utför vi föreningen mellan dem.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Därför är (A - B) U (B - A):
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
fråga 2 - (Vunesp) Antag att A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} och A - B = {a, b, c}, sedan:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = {}
d) B = {d, e}
e) B = {a, b, c, d, e}
Lösning
Alternativ b.
Ordna elementen i Venn-Euler-diagrammet, enligt uttalandet, har vi:
Därför är uppsättningen B = {d, e, f, g, h}.
av Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
