Vad är permutation?

Permutation är ett av de ämnen som diskuteras i ämnet kombinatorisk analys i matte. Med en ordnad sekvens med ett "n" antal distinkta element i handen, kallas varje annan sekvens som bildas av samma "n" omordnade element permutation.

Således kan vi säga att om A är en permutation av B, så består A och B av samma element, men ordnas annorlunda.

Var kommer permutationer ifrån?

Permutationer är isolerade fall av Enkla arrangemang. Dessa är ordnade grupperingar av en uppsättning A av element, så att grupperna har färre eller lika många element än uppsättning A.

Uppsättningen A = {X, Y, Z}, {X, Y} och {Y, X} är a enkelt arrangemang av elementen från A tagna 2 till 2. Antalet element i A representeras av bokstaven "n". O ordernummer, eller klassnummer, är "k". Detta nummer är antalet element i varje enkel matris (i fallet med exemplet är detta nummer 2).

Listan med alla enkla arrangemang för de tre elementen i A taget 3 till 3 är som följer:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX och YXZ

Denna lista är just det speciella fallet med arrangemang som får namnet på permutation.

Beräkning av enkla arrangemang

Antalet enkla matriser för en uppsättning A, som har Nej element tagna k De åh, kan beräknas med följande formel:

DE_{nej, ok} = Nej!
(n - k)!

Permutation Definition

Låt A vara en uppsättning med Nej distinkta element. Du enkla arrangemang av dessa element tas n till n kallas enkla permutationer av A. För att det ska vara en permutation är det således nödvändigt att ordernumret k vara lika med antalet Nej av element av A. Följande beräkning är resultatet av detta:

Med formeln som används för enkla matriser och ordernumret k = n har vi:

Detta är den formel som används för att beräkna antalet permutationer för elementen i uppsättningen A, vanligtvis betecknad med P_Nej. Snart:

Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)

P_Nej = A_{Nej nej} = n!

P_Nej = n!

Exempel

Beräkna antalet permutationer för bokstäverna i ordet LOVE.

Lösning:

Observera att ordet LOVE har fyra olika element. För att beräkna antalet permutationer för detta ord använder vi formeln ovan:

P_Nej = n!

P₄ = 4!

P₄ = 4·3·2·1

P₄ = 24

Därför är det möjligt att bilda 24 olika permutationer av bokstäverna i ordet LOVE. Ordpermutationer kallas också anagram.

Permutationer med upprepade element

Varje uppsättning kan ha upprepade element. På permutationer den uppsättningen bör överväga upprepningen av dessa element, eftersom ordningen i vilken de visas spelar ingen roll, till skillnad från ordningen på de andra elementen i uppsättningen. Om vi ​​bara ändrar de två “A” -erna i ordet AMAR får vi samma ord. Likadana ord är det inte permutationerdärför måste denna upprepning subtraheras i formeln för permutationerna.

Att subtrahera alla möjliga upprepningar av element i ett permutation med upprepade element, vi måste göra följande:

Låt A vara en uppsättning med Nej element, varav k element upprepar sig själva. Formeln för beräkning av permutationerna för A är:

P_Nej^k = Nej!
k!

Om du ställer in A, med Nej element, besitter k repetitioner av ett element och j upprepningar av en annan kommer beräkningen att ske enligt följande:

P_Nej^haha =  Nej!
k! · j!

Om en uppsättning A, med Nej element, har k repetitioner av ett element, j upprepningar av en annan,..., m upprepningar av en annan har formeln följande form:

P_Nej^{k, j,..., m} =  Nej!
k! · j! ·... · M!

Exempel

Beräkna antalet anagram för ordet ANTONIA.

Lösning:

För att lösa exemplet, beräkna bara permutationer med upprepade element av ordet ANTONIA. Både bokstaven A och bokstaven N upprepas två gånger. Kolla på:

P₇^2,2 =  7!
2!·2!

P₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

P₇^2,2 = 5040
4

P₇^2,2 = 1260

Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik