Trigonometriska ekvationer är likheter som involverar trigonometriska funktioner i okända bågar. Att lösa dessa ekvationer är en unik process som använder reduktionstekniker till enklare ekvationer. Låt oss täcka begreppen och definitionerna av ekvationer i formuläret cosx = a.
Trigonometriska ekvationer i formen cosx = α har lösningar i intervallet –1 ≤ x ≤ 1. Att bestämma värdena på x som uppfyller denna typ av ekvation följer följande egenskaper: Om två bågar har lika cosinus är de kongruenta eller komplementära..
Låt x = α vara en lösning av ekvationen cos x = α. De andra möjliga lösningarna är bågarna som är kongruenta till bågen α eller till bågen - α (eller till bågen 2π - α). Så: cos x = cos α. Observera representationen i den trigonometriska cykeln:
Vi drog slutsatsen att:
x = α + 2kπ, med k Є Z eller x = - α + 2kπ, med k Є Z
Exempel 1
Lös ekvationen: cos x = √2 / 2.
Från tabellen över trigonometriska förhållanden motsvarar que2 / 2 en vinkel på 45º. Sedan:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Således har ekvationen cosx = √2 / 2 som en lösning alla bågarna som är kongruenta till bågen π / 4 eller –π / 4 eller till och med 2π - π / 4 = 7π / 4. Observera bilden:
Vi drar slutsatsen att de möjliga lösningarna för ekvationen cos x = √2 / 2 är:
x = π / 4 + 2kπ, med k Є Z eller x = - π / 4 + 2kπ, med k Є Z
Exempel 2
Lös ekvationen: cos 3x = cos x
När 3x- och x-bågarna är kongruenta:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
När bågarna 3x och x är komplementära:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Lösningen av ekvationen cos 3x = cos x är {x Є R / x = kπ eller x = kπ / 2, med k Є Z}.
av Mark Noah
Examen i matematik
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm
