Sats för polynomnedbrytning

Den grundläggande satsen för algebra för polynomekvationer garanterar det "varje grad polynom n≥ 1 har minst en komplex rot ". Beviset för denna sats framställdes av matematikern Friedrich Gauss 1799. Från det kan vi visa sats för polynomnedbrytning, vilket garanterar att alla polynom kan sönderdelas i första gradens faktorer. Ta följande polynom p (x) av betyg n ≥ 1 och_Nej ≠ 0:

p (x) = a_Nej x^Nej + den_n-1 x^n-1 +... + den₁x¹ + den₀

Genom algebras grundläggande sats kan vi konstatera att detta polynom har minst en komplex rot. u₁, Så att p (u₁) = 0. O D'Alemberts sats till uppdelning av polynom säger att om p (u₁) = 0, sedan p (x) är delbart med (x - u₁)vilket resulterar i en kvot Vad₁(x), vilket är en grad polynom (n - 1), vilket får oss att säga:

p (x) = (x - u₁). Vad₁(x)

Från denna ekvation är det nödvändigt att lyfta fram två möjligheter:

Om u = 1 och Vad₁(x) är ett polynom av grad (n - 1), då Vad₁(x) har examen 0. Som den dominerande koefficienten för p (x) é De_Nej, Vad₁(x) är en konstant polynom av typen Vad₁(x)=De_Nej. Så vi har:

p (x) = (x - u₁). Vad₁(x)
(x) = (x - u₁). De_Nej
p (x) = a_Nej . (x - u₁)

Men om u ≥ 2, sedan polynom Vad₁ har examen n - 1 ≥ 1 och den grundläggande satsen för algebra. Vi kan säga att polynom Vad₁ har minst en rot Nej₂, vilket får oss att säga det Vad₁ kan skrivas som:

Vad₁(x) = (x - u₂). Vad₂(x)

Men hur p (x) = (x - u₁). Vad₁(x), vi kan skriva om det som:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). Vad₂(x)

Efter att ha upprepat denna process kommer vi att ha:

p (x) = a_Nej. (x - u₁). (x - u₂)... (x - u_Nej)

Således kan vi dra slutsatsen att varje polynom- eller polynomekvation p (x) = 0 av betyg n≥ 1 äger exakt Nej komplexa rötter.​

Exempel: Vara p (x) ett polynom av grad 5, så att dess rötter är – 1, 2, 3, – 2 och 4. Skriv detta polynom sönderdelat i första gradens faktorer, med tanke på dominerande koefficient lika med 1. Den måste skrivas i utökad form:

om – 1, 2, 3, – 2 och 4 är rötterna till polynomet, så produkten av skillnaderna mellan x för var och en av dessa rötter resulterar i p (x):

p (x) = a_Nej. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Om den dominerande koefficienten De_Nej = 1, vi har:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Av Amanda Gonçalves
Examen i matematik

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm