DE mmatrismultiplikation görs genom en algoritm som kräver mycket uppmärksamhet. För att produkten mellan matris A och matris B ska finnas, det är nödvändigt att antalet kolumner ger först huvudkontor, om A, är lika med antalet rader ger Måndag huvudkontor, i fall B.
Från multiplikationen mellan matriser är det möjligt att förstå vad identitetsmatrisen är, vilken är den neutralt element av matrismultiplikation, och vad är den inversa matrisen för matris M, som är matris M-1 vars produkt av M av M-1 är lika med identitetsmatrisen. Det är också möjligt att multiplicera en matris med ett reellt tal - i det här fallet multiplicerar vi var och en av termerna för huvudkontor efter nummer.
Läs också: Vad är en triangulär matris?
existensvillkor
För att multiplicera två matriser är det först nödvändigt att kontrollera existensvillkoret. För att produkten ska finnas, antalet kolumner i den första matrisen måste vara lika med antalet rader i den andra matrisen.
Vidare är resultatet av multiplikationen en matris som har samma antal rader som den första matrisen och samma antal kolumner som den andra matrisen.Till exempel produkten AB mellan matriser A3x2 och B2x5 existerar eftersom antalet kolumner i A (2 kolumner) är lika med antalet rader i B (2 rader), och resultatet är matris AB3x5. Redan produkt mellan C-matriser3x5 och matris D2x5 existerar inte, eftersom C har 5 kolumner och D har 3 rader.
Hur beräknar jag produkten mellan två matriser?
För att utföra matrismultiplikation, det är nödvändigt att följa några steg. Vi kommer att göra ett exempel på multiplikationen av en algebraisk matris A2x3 av matris B3x2
Vi vet att produkten finns, eftersom matris A har 3 kolumner och matris B, 3 rader. Vi kommer att kalla C resultatet av multiplikationen A · B. Dessutom vet vi också att resultatet är en C-matris.2x2, eftersom matris A har 2 rader och matris B, 2 kolumner.
För att beräkna produkten av matris A2x3 och matris B3x2, låt oss följa några steg.
Först hittar vi var och en av termerna i matrisen C2x2:
Låt oss hitta villkoren relatera alltid raderna med matris A till kolumnerna i matris B:
ç11 → 1: a raden av A. och 1: a kolumnen i B
ç12 → 1: a raden av A. och 2: a kolumnen i B
ç21 → 2: a raden av A. och 1: a kolumnen i B
ç22 → 2: a raden av A. och 2: a kolumnen i B
Vi beräknar vart och ett av termerna genom att multiplicera termerna i raden A och termerna i kolumnen B. Nu måste vi lägga till dessa produkter, till att börja med ç11:
1: a raden av A.
1: a kolumnen i B
ç11 = De11· B11 + De12· B21+ De13· B31
beräknande ç12:
1: a raden av A.
2: a kolumnen i B
ç12 = De11· B12 + De12· B22+De13· B32
beräknande ç21:
2: a raden av A.
1: a kolumnen i B
ç21 = De21· B11 + De22· B21+De23· B31
beräkning av termen ç22:
2: a raden av A.
2: a kolumnen i B
ç22 = De21· B12 + De22· B22+De23· B32
Således bildas matris C av termerna:
Exempel:
Låt oss beräkna multiplikationen mellan matriserna A och B.
Det vet vi i A2x2 och B2x3, antalet kolumner i den första är lika med antalet rader i den andra, så produkten finns. Så vi kommer att göra C = A · B och vi vet att C2x3.
Multiplicera måste vi:
Se också: Vad är en transponerad matris?
identitetsmatris
I multiplikation mellan matriser finns det några speciella fall, till exempel identitetsmatrisen, som är det neutrala elementet för multiplikation mellan matriser.. Identitetsmatrisen är en kvadratmatris, det vill säga antalet rader är alltid lika med antalet kolumner. Dessutom är endast diagonalens villkor lika med 1 i den, och de andra termerna är alla lika med noll. När vi multiplicerar en matris M med identitetsmatrisen INej, Vi måste:
M · INej = M
Exempel:
Vad är den inversa matrisen?
Med tanke på en matris M, känner vi den som en invers matris av M. matrisen M-1vars produkt M · M-1 är lika med à identitetsmatris INej. För att en matris ska ha en invers måste den vara kvadratisk och dess determinant måste skilja sig från 0. Låt oss titta på exempel på matriser som är inversa:
När vi beräknar produkten A · B måste vi:
Observera att produkt mellan A och B-genererad matris I2. När detta händer säger vi att B är den inversa matrisen för A. Läs mer om denna typ av matris: Omvänd matris.
Matrixmultiplikation med ett reellt tal
Till skillnad från multiplikation mellan matriser finns det också matrixmultiplikation med en riktigt nummer, vilket är en mycket enklare operation för att hitta lösningen.
Ge en matris M, multiplicera matrisen med ett reellt tal k är lika med matrisen kM. För att hitta denna matris kM, nog multiplicera alla termer i matrisen med konstanten k.
Exempel:
om k = 5 och med tanke på matris M nedan, hitta matris 5M.
Multiplicera:
Övningar lösta
Fråga 1 - (Unitau) Angivna matriser A och B,
värdet av elementet c11 för matris C = AB är:
A) 10.
B) 28.
C) 38.
D) 18.
E) 8.
Upplösning
Alternativ A.
Hur vill vi ha termen c11, låt oss multiplicera termerna i första raden och A med termerna i den första kolumnen i B.
beräkning av c11 = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10
Fråga 2 - (Enem 2012) En student registrerade två månadersbetygen för några av sina ämnen i en tabell. Han noterade att de numeriska posterna i tabellen bildade en matris på 4 × 4 och att han kunde beräkna de årliga medelvärdena för dessa discipliner med hjälp av matriser. Alla tester hade samma vikt, och tabellen han fick visas nedan.
För att uppnå dessa medelvärden multiplicerade han matrisen från tabellen med matrisen:
Upplösning
Alternativ E.
Genomsnittet är inget mer än summan av element dividerat med antalet element. Observera att det finns 4 sedlar per rad, så genomsnittet skulle vara summan av dessa sedlar dividerat med 4. Att dela med 4 är detsamma som att multiplicera med fraktion ¼. Matrisen för betyg är också en 4x4-matris, så vi måste multiplicera med en 4x1-matris, det vill säga den har 4 rader och en kolumn för att hitta matrisen som har genomsnittet av betyg.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm
