Invers matris: vad är det, hur man hittar övningar

Konceptet av invers matris kommer mycket nära begreppet det inversa av ett tal. Låt oss komma ihåg att det inversa av ett tal Nej är numret Nej^-1där produkten mellan de två är lika med det neutrala elementet i multiplikationdet vill säga siffran 1. Redan det inversa av matris M är matris M^-1, där produkten M · M^-1 är lika med identitetsmatrisen I_Nej, vilket är inget annat än det neutrala elementet i matrixmultiplikation.

För att matrisen ska ha en invers måste den vara kvadratisk och dessutom måste dess determinant skilja sig från noll, annars kommer det inte att finnas någon invers. För att hitta den inversa matrisen använder vi matrisekvationen.

Läs också: Triangulär matris - speciell typ av kvadratmatris

För att en matris ska ha en invers måste den vara kvadratisk.

identitetsmatris

För att förstå vad den inversa matrisen är är det först nödvändigt att känna till identitetsmatrisen. Vi känner som en identitetsmatris kvadratmatrisen I_Nej där alla element i huvuddiagonalen är lika med 1 och de andra termerna är lika med 0.

DE identitetsmatris är det neutrala elementet av multiplikation mellan matriser., det vill säga ges en huvudkontor M i ordning n, produkten mellan matris M och matris I_Nej är lika med matris M.

M · I_Nej = M

Hur man beräknar den inversa matrisen

För att hitta den inversa matrisen för M är det nödvändigt att lösa en matrisekvation:

 M · M^-1 = Jag_Nej

Exempel

Hitta den inversa matrisen för M.

Eftersom vi inte känner till den inversa matrisen, låt oss representera den här matrisen algebraiskt:

Vi vet att produkten mellan dessa matriser måste vara lika med I₂:

Låt oss nu lösa matrisekvationen:

Det är möjligt att dela upp problemet i två system för ekvationer. Den första använder den första kolumnen i matrisen M · M^-1 och den första kolumnen i identitetsmatrisen. Så vi måste:

För att lösa systemet, låt oss isolera₂₁ i ekvation II och ersätta i ekvation I.

Genom att ersätta i ekvation I måste vi:

Hur hittar vi värdet av a₁₁, då hittar vi värdet av a₂₁:

Att känna till värdet av a₂₁ och den₁₁, nu hittar vi värdet av de andra termerna genom att ställa in det andra systemet:

isolera₂₂ i ekvation III måste vi:

3: e₁₂ + 1: a₂₂ = 0

De₂₂ = - 3: e₁₂

Ersätter i ekvation IV:

5: e₁₂ + 2: a₂₂ =1

5: e₁₂ + 2 · (- 3: e₁₂) = 1

5: e₁₂ - 6: e₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

De₁₂ = – 1

Att känna till värdet av a₁₂, vi hittar värdet av a₂₂ :

De₂₂ = - 3: e₁₂

De₂₂ = – 3 · ( – 1)

De₂₂ = 3

Nu när vi känner till alla termer för matrisen M^-1, är det möjligt att representera det:

Läs också: Addition och subtraktion av matriser

Inverse Matrix Properties

Det finns egenskaper som härrör från att definiera en invers matris.

• 1: a fastigheten: det inversa av matrisen M^-1 är lika med matris M. Det inversa av en invers matris är alltid själva matrisen, det vill säga (M^-1)^-1 = M, för vi vet att M^-1 · M = I_Nejdärför M^-1 är den inversa av M och även M är den inversa av M^-1.
• 2: a fastigheten: det inversa av en identitetsmatris är sig själv: I^-1 = I, eftersom produkten av identitetsmatrisen i sig resulterar i identitetsmatrisen, det vill säga jag_Nej · Jag_Nej = Jag_Nej.
• 3: e fastigheten: den inversa av produkt av två matriserär du är lika med produkten av inverserna:

(M × H)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4: e fastigheten: en kvadratmatris har invers om och bara om den är determinant skiljer sig från 0, det vill säga det (M) ≠ 0.

Övningar lösta

1) Med tanke på matris A och matris B, med vetskap om att de är inverser, är värdet x + y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Upplösning:

Alternativ d.

Bygga ekvationen:

A · B = I 

Vid den andra kolumnen, som motsvarar termerna, måste vi:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Isolera x till I:

Byter ut ekvation II, vi måste:

Att känna till värdet på y, kommer vi att hitta värdet på x:

Låt oss nu beräkna x + y:

fråga 2

En matris har bara en invers när dess determinant skiljer sig från 0. Titta på matrisen nedan, vilka är x-värden som gör att matrisen inte stöder invers?

a) 0 och 1.

b) 1 och 2.

c) 2 och - 1.

d) 3 och 0.

e) - 3 och - 2.

Upplösning:

Alternativ b.

Beräkning av determinanten för A, vi vill ha värden där det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

lösa 2: a grads ekvation, Vi måste:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

A = b2 - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm