Matris: vad är det, typer, operationer, exempel

DE huvudkontor det används ofta för att organisera tabelldata för att underlätta problemlösning. Matrisinformation, oavsett om det är numeriskt eller inte, är ordnat ordentligt i rader och kolumner.

Uppsättningen matriser utrustad med driften av tillägg, subtraktion och multiplikation och funktioner, som ett neutralt och omvänt element, bildar en matematisk struktur som möjliggör dess tillämpning inom olika fält av detta stora kunskapsområde.

Se också: Förhållandet mellan matris och linjära system

Matrisrepresentation

Innan du påbörjar studierna om matriser är det nödvändigt att fastställa några noteringar om deras representationer. På matriser representeras alltid med stora bokstäver. (A, B, C ...), som åtföljs av index, i vilka första siffran anger antalet rader och den andra antalet kolumner.

DE antal rader (horisontella rader) och kolumner (vertikala rader) i en matris bestämmer dess ordning. Matris A har ordning m efter n. Informationen i en matris anropas element och är ordnade inom parentes, hakparentes eller två vertikala staplar, se exemplen:

Matrisen A har två rader och tre kolumner, så dess ordning är två och tre → A_2x3.

Matris B har en rad och fyra kolumner, så dess ordning är en efter fyra, så det kallas linjematris → B_1x4.

Matris C har tre rader och en kolumn, och så kallas det kolumnmatris och dess ordning är tre efter en → C_3x1.

Vi kan generiskt representera elementen i en matris, det vill säga, vi kan skriva detta element med en matematisk representation. Ogeneriskt element representeras av gemener (a, b, c ...), och som i representationen av matriser har den också ett index som indikerar dess placering. Den första siffran indikerar raden elementet är i, och det andra numret anger kolumnen där det finns.

Tänk på följande matris A, vi listar dess element.

Observera det första elementet som finns i första raden och första kolumnen, det vill säga i rad ett och kolumn ett, har vi siffran 4. För att underlätta skrivningen kommer vi att beteckna det med:

De₁₁ → rad ett element, kolumn ett

Så vi har följande element i matris A_2x3:

De₁₁ = 4

De₁₂ =16

De₁₃ = 25

De₂₁ = 81

De₂₂ = 100

De₂₃ = 9

I allmänhet kan vi skriva en matris som en funktion av dess generiska element, detta är generisk matris.

En matris av m rad och n kolumner representeras av:

• Exempel

Bestäm matrisen A = [a_{I j} ]_2x2, som har följande utbildningslag att_{I j} = j² - 2i. Från uttalandedata har vi att matrisen A är i ordning två och två, det vill säga den har två rader och två kolumner, därför:

Dessutom gavs matrisbildningslagen, det vill säga varje element är nöjd med förhållandet till_{I j} = j² - 2i. Genom att ersätta värdena för i och j i formeln har vi:

De₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

De₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

De₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

De₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Därför är matris A:

Array Typer

Vissa matriser förtjänar särskild uppmärksamhet, se nu dessa typer av matriser med exempel.

• kvadratisk matris

En matris är kvadratisk när antalet rader är lika med antalet kolumner. Vi representerar matrisen som har n rader och n kolumner med A_Nej (läs: kvadratmatris av ordning n).

I fyrkantiga matriser har vi två mycket viktiga element, diagonaler: huvud och sekundär. Huvuddiagonalen bildas av element som har samma index, det vill säga det är varje element a_{I j} med i = j. Den sekundära diagonalen bildas av elementen a_{I j} med i + j = n +1, där n är matrisordning.

• identitetsmatris

Identitetsmatrisen är en kvadratmatris som har Alltduelement i huvuddiagonalen lika med 1 och den andra element lika med 0, dess bildande lag är:

Vi betecknar denna matris med I, där n är ordningen på kvadratmatrisen, se några exempel:

• enhetsmatris

Det är en fyrkantig matris av ordning en, det vill säga den har en rad och en kolumn och därför bara ett element.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 och C = || 5 ||_1x1

Dessa är exempel på enhetsmatriser, med betoning på matris B, som är a enhetsidentitetsmatris.

• null matris

En matris sägs vara noll om alla dess element är lika med noll. Vi representerar en nollmatris av ordning m av n av O_mxn.

Matrisen O är noll av ordning 4.

• motsatt matris

Tänk på två matriser med samma ordning: A = [a_{I j}]_mxn och B = [b_{I j}]_mxn. Dessa matriser kommer att kallas motsatta om, och endast om_{I j} = -b_{I j}. Således, motsvarande element måste vara motsatta siffror.

Vi kan representera matrisen B = -A.

• transponerad matris

Två matriser A = [a_{I j}]_mxn och B = [b_{I j}]_nxm dom är införlivas om, och endast om,_{I j} = b_ji , det vill säga, givet en matris A, för att hitta dess transponera, ta bara raderna som kolumner.

Transponeringen av matris A betecknas med A^T. Se exemplet:

Se mer: Invers matris: vad är det och hur man verifierar det

Matrisoperationer

Generisk representation av en n x m-matris.

Uppsättningen matriser har funktionerna aväldefinierad tillägg och multiplikation, det vill säga, när vi använder två eller flera matriser, hör resultatet av operationen fortfarande till uppsättningen matriser. Men vad sägs om subtraktionsoperationen? Vi förstår denna operation som den inversa av addition (motsatt matris), vilket också är väldefinierat.

Låt oss förstå idéerna till innan vi definierar operationerna motsvarande element och lika matriser. Motsvarande element är de som upptar samma position i olika matriser, det vill säga de ligger i samma rad och kolumn. Uppenbarligen måste matriserna ha samma ordning för att matchande element ska existera. Se:

Elementen 14 och -14 är motsvarande element i motsatta matriser A och B, eftersom de upptar samma position (samma rad och kolumn).

Två matriser kommer att sägas vara lika om och endast om motsvarande element är lika. Med tanke på matriserna A = [a_{I j}]_mxn och B = [b_{I j}]_mxn, dessa kommer att vara desamma om, och bara om_{I j} = b_{I j} för alla i j.

• Exempel

Att veta att matriserna A och B är lika, bestäm värdena x och t.

Eftersom matriserna A och B är lika, måste motsvarande element vara lika, därför:

x = -1 och t = 1

• Addition och subtraktion av matriser

Verksamheten i addition och subtraktion mellan matriser de är ganska intuitiva, men först måste ett villkor uppfyllas. För att utföra dessa åtgärder är det först nödvändigt att verifiera att arrayorder är lika.

När detta villkor har verifierats sker additionen och subtraktionen av matrisen genom att addera eller subtrahera motsvarande element i matriserna. Tänk på matriserna A = [a_{I j}]_mxn och B = [b_{I j}]_mxn, sedan:

A + B = [a_{I j} + b_{I j}] _mxn

A - B = [a_{I j} - B_{I j}] _mxn

• Exempel

Tänk på matriserna A och B nedan, bestäm A + B och A - B.

Läs också: Hela antalet operationer

• Multiplikation av ett reellt tal med matris

Multiplikationen av ett reellt tal i en matris (även känd som matrixmultiplikation) med en skalär ges genom att multiplicera varje element i matrisen med skalären.

Låt A = [a_{I j}]_mxn en matris och t ett reellt tal, så:

t · A = [t · a_{I j}]_mxn

Se exemplet:

• Matrixmultiplikation

Multiplikationen av matriser är inte lika trivial som tillägget och subtraktionen av dem. Innan multiplikationen utförs måste ett villkor också vara uppfyllt angående matrisernas ordning. Tänk på matriser A_mxn och B_nxr.

För att utföra multiplikationen, antalet kolumner i den första matrisen måste vara lika med antalet rader i den andra. Produktmatrisen (som kommer från multiplikation) har en ordning som ges av antalet rader i den första och antalet kolumner i den andra.

För att utföra multiplikationen mellan matriserna A och B måste vi multiplicera var och en av raderna med alla kolumner enligt följande: det första elementet av A multipliceras med det första elementet i B och läggs sedan till det andra elementet i A och multipliceras med det andra elementet i B, och så successivt. Se exemplet:

Läs också: Laplaces teorem: vet hur och när du ska använda

lösta övningar

fråga 1 - (U. OCH. Londrina - PR) Låt matriserna A och B vara 3 x 4 respektive p x q, och om matrisen A · B har ordning 3 x 5 är det sant att:

a) p = 5 och q = 5

b) p = 4 och q = 5

c) p = 3 och q = 5

d) p = 3 och q = 4

e) p = 3 och q = 3

Lösning

Vi har påståendet att:

DE_3x4 · B_pxq = C_3x5

Från villkoret för att multiplicera två matriser har vi att produkten endast finns om antalet kolumner i den första är lika med antalet rader i den andra, så p = 4. Och vi vet också att produktmatrisen ges av antalet rader i den första med antalet kolumner i den andra, så q = 5.

Därför är p = 4 och q = 5.

A: Alternativ b

Fråga 2 - (Vunesp) Bestäm värdena för x, y och z på följande jämställdhet, med 2 x 2 riktiga matriser.

Lösning

Låt oss utföra operationerna mellan matriserna och sedan jämlikheten mellan dem.

För att bestämma värdet på x, y och z löser vi det linjära systemet. Låt oss inledningsvis lägga till ekvationer (1) och (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Genom att ersätta värdet på x som finns i ekvation (3) har vi:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Och slutligen, genom att ersätta värdena för x och z som finns i ekvation (1) eller (2), har vi:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Därför ges lösningen på problemet med S = {(2, 0, 2)}.

av Robson Luiz
Mattelärare