Summan av termerna för en aritmetisk progression

Ett aritmetisk progression (PA) är en sekvens numeriskt där varje term är summan av den föregående med en konstant, kallad förhållandet. De existerar matematiska uttryck för att bestämma termen för en PA och för att beräkna summan av dess Nej första termerna.

Formeln som används för att beräkna summan av villkoren av en begränsad PA eller summan av Nej de första villkoren för en PA är följande:

s_Nej = på₁ + den_Nej)
2

* n är antalet BP-termer; De₁ är den första terminen och_Nej är den sista.

Ursprunget till summan av villkoren för PA

Det sägs att den tyska matematikern Carl Friederich Gauss, vid ungefär tio års ålder, straffades med sin klass i skolan. Läraren ber eleverna att lägga till alla siffror som visas i sekvens från 1 till 100.

Gauss var inte bara den första som slutade på mycket kort tid, han var också den enda som fick resultatet rätt (5050). Dessutom visade det inga beräkningar. Vad han gjorde var att reparera följande fastigheter:

Summan av två termer som är lika långt från ytterligheterna i en ändlig PA är lika med summan av ytterligheterna.

Det fanns ingen kunskap om PANORERA vid den tiden, men Gauss tittade på listan över siffror och insåg att om man adderade det första till det sista skulle det resultera i 101; om du lägger till den andra till näst sista skulle resultatet också bli 101 och så vidare. Som summan av alla par av termer lika långt ifrån varandra av ytterligheterna kom till 101, var Gauss bara tvungen att multiplicera det numret med halva tillgängliga termer för att hitta 5050-resultatet.

Observera att från nummer 1 till nummer 100 finns det exakt 100 nummer. Gauss insåg att om han lade till dem två och två, skulle han få 50 resultat lika med 101. Därför gjordes denna multiplikation med hälften av de totala termerna.

Demonstration av summan av villkoren för en PA

Denna prestation gav upphov till uttrycket som används för att beräkna summan av Nej första villkoren i en PA. Taktiken som används för att komma fram till detta uttryck är som följer:

ges en PANORERA någon, vi lägger till de första n termerna av det. Matematiskt kommer vi att ha:

s_Nej = den₁ + den₂ + den₃ +... + den_{n - 2} + den_{n - 1} + den_Nej

Strax nedanför detta summan av villkor, vi kommer att skriva en annan, med samma termer som den tidigare, men i avtagande betydelse. Observera att summan av termer i den första är lika med summan av termer i den andra. Därför likställdes båda med S_Nej.

s_Nej = den₁ + den₂ + den₃ +... + den_{n - 2} + den_{n - 1} + den_Nej

s_Nej = den_Nej + den_{n - 1} + den_{n - 2} +... + den₃ + den₂ + den₁

Observera att dessa två uttryck erhölls från en singel PANORERA och att de lika långa termerna är inriktade vertikalt. Därför kan vi lägga till uttryck för att få:

s_Nej = den₁ + den₂ + den₃ +... + den_{n - 2} + den_{n - 1} + den_Nej

+ s_Nej = den_Nej + den_{n - 1} + den_{n - 2} +... + den₃ + den₂ + den₁

2S_Nej = (₁ + den_Nej) + (a₂ + den_{n - 1}) +... + (a_{n - 1} + den₂) + (a_Nej + den₁)

Kom ihåg att summan av termer som ligger på avstånd från extremiteterna är lika med summan av ytterligheter. Därför kan varje parentes ersättas med summan av ytterligheterna, som vi kommer att göra nästa:

2S_Nej = (₁ + den_Nej) + (a₁ + den_Nej) +... + (₁ + den_Nej) + (a₁ + den_Nej)

Gauss idé var att lägga till ekvivalenta termer för en sekvens. Så han fick hälften av antalet villkor från PANORERA i resultat 101. Vi gjorde det så att varje term i den ursprungliga BP lades till sitt lika långa värde, vilket bevarade dess antal termer. Således som PA hade n termer kan vi ändra summan, i uttrycket ovan, genom en multiplikation och lösa ekvation att hitta:

2S_Nej = (₁ + den_Nej) + (a₁ + den_Nej) +... + (₁ + den_Nej) + (a₁ + den_Nej)

2S_Nej = n (a₁ + den_Nej)

s_Nej = på₁ + den_Nej)
2

Detta är exakt den formel som används för att lägga till Nej första villkoren i en PA.

Exempel

Med tanke på P.A (1, 2, 3, 4), bestäm summan av de första 100 villkoren.

Lösning:

Vi måste hitta termen a₁₀₀. För detta kommer vi att använda allmän termformel av en PA:

De_Nej = den₁ + (n - 1) r

De₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

De₁₀₀ = 1 + 99

De₁₀₀ = 100

Nu formeln för att summera de första n termerna:

s_Nej = på₁ + den_Nej)
2

s₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

s₁₀₀ = 100(101)
2

s₁₀₀ = 10100
2

s₁₀₀ = 5050

Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm