Logaritm är ett mycket viktigt verktyg inte bara för matematik, eftersom den har tillämpning inom flera vetenskapsområden, såsom geografi, kemi och dator.
Historiskt logaritmen uppstår för att underlätta konton som uppträdde ofta inom flera vetenskapliga områden. John Napier var en pionjär inom studier om logaritmer och lyckades utveckla operationen som kunde transformeras Produkter i belopp, indelningar i subtraktioner och styrkor i multiplikationer.
Genom att definiera denna operation över tid formaliserades andra matematiker definitioner och egenskaper, dessutom den välkända loggbord.
Definition av logaritmen
Skissa grafen för logaritmfunktionen (höger) och dess exponentiella inversa (vänster).
överväga två riktiga nummer positiv De och B, med till ≠ 0. logaritmen till B vid basen De är numret x om och endast om, De upp till x är lika med antalet B.
Nomenklatur:
→ basen
b → logaritm
x → logaritm
Se exemplen:
När en logaritm har en bas lika med 10 kallas den decimal logaritm. När du registrerar en decimallogg är det inte nödvändigt att skriva bas 10. Man är överens om att:
Läs också: Decimalt logaritmsystem
Hur man beräknar en logaritm?
För att beräkna en logaritm måste vi leta efter en nummer som, när vi höjer basen, resulterar i logaritmen. Om vi tar ett exempel på logaritmen för 36 i bas 6 i föregående exempel, bör vi hitta ett tal som, när vi höjer bas 6, resulterar i 36. som 62 = 36, med svar 2. Låt oss titta på fler exempel:
1) Logg 1000. För att beräkna denna logaritm måste vi hitta ett tal som höjs till 10 är lika med 1000, det vill säga 10x = 1000.
Lösa den exponentiella ekvationen har vi:
10x=1000
10x = 103
x = 3
Därför,
1. Beräkna logaritmen:
Vi måste hitta ett tal som till roten till 7 är lika med fyrtio nitton. För att lösa ekvationen har vi:
Läs mer: Exponentiell ekvation - ekvation med okänd i exponenten
Logaritm existensvillkor
Tänk på följande logaritm:
Uttrycket definieras endast för när basen är större än noll och skiljer sig från en och när basen är större än noll, det vill säga:
a> 0 och a ≠ 0
b> 0
Äganderätt till logaritmer
Se de viktigaste nedan. egenskaper hos logaritmer. Alla logaritmer som citeras här uppfyller existensvillkoret.
Fast egendom 1
Produktens logaritm av två faktorer är lika med summan av logaritmerna för dessa faktorer.
Fast egendom 2
Logaritmen för kvoten mellan två siffror är lika med skillnaden mellan logaritmerna för dessa siffror.
Fast egendom 3
Logaritmen för en makt är lika med att multiplicera exponenten för den makten med logaritmen av maktens bas, där vi behåller logaritmens bas.
Fast egendom 4
Logaritmen för en rot är lika med det inversa av rotindexet multiplicerat med logaritmen, där vi också behåller basen.
Fast egendom 5
Logaritmen för ett tal, i en bas som höjs till en kraft, är lika med multiplikationen av den inversa av exponenten för den basen.
Veta mer: Tillämpningar avogaritmer: se exempel
Övningar lösta
fråga 1 - (Fuvest - SP) Om x5 = 1000 och b3 = 100, så logaritmen för x i bas b är:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1.2
D) 1.5
E) 2.0
Lösning
Eftersom siffrorna 1000 och 100 kan skrivas i bas 10 har vi:
Genom att ersätta logaritmen av x i bas b och tillämpa definitionen har vi:
fråga 2 - (Enem) Den lösningens vätgaspotential (pH) definieras som det index som indikerar dess surhet, neutralitet eller alkalinitet. Det finns enligt följande:
vara H+ koncentrationen av vätejoner i den lösningen. PH i en lösning, där H+ = 1,0 ·10-9, é:
Lösning:
Ersätter H-värdet+ i pH-formeln har vi:
Av L.do Robson Luiz
Mattelärare
