Polygoner: element, klassificering, nomenklatur

Polygoner är bilder platt geometri och stängd bildad av raka segment. Polygonerna är uppdelade i två grupper, konvex och den inte konvex. När en polygon har alla sidor lika och följaktligen alla vinklar inre lika, det är en polygon regelbunden. Vanliga polygoner kan namnges efter antalet sidor.

Se också: Konstruktion av begränsade polygoner

Element av en polygon

En polygon är en platt, sluten figur som bildas av föreningen av ett begränsat antal raka linjesegment. Så överväg alla polygoner:

Punkterna A, B, C, D, E, F, G och H är hörn av polygonen och bildas av mötet mellan segmenten AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH och HA, kallad sidor av polygonen.

Segmenten AF, AE, AD och BG är diagonaler av polygonen. (Observera att det här är några exempel på diagonaler, i den tidigare polygonen har vi fler av dessa.) Diagonaler är linjesegment som "förbinder" polygonens hörn.

Nomenklatur för en polygon

Vi kan namnge polygonerna enligt deras antal sidor. Se namnet på de viktigaste polygonerna i tabellen nedan.

Antal sidor (n)	Nomenklatur
3	triangel
4	fyrhörning
5	Pentagon
6	Sexhörning
7	Heptagon
8	Oktogon
9	Enneagon
10	Decagon
11	Undecagon
12	Dodecagon
15	Pentadecagon
20	Icosagon

Observera att det inte är nödvändigt att dekorera bordet utan att förstå det. Med undantag för triangeln och fyrsidan är ordformationen:

Antal sidor + gono

Till exempel när vi har polygonen för fem sidor, kom ihåg automatiskt prefixet penta plus suffixet gono: Pentagon.

Exempel

Bestäm namnet på följande polygon:

Antalet sidor av polygonen är sju, så polygonen är en heptagon.

polygonklassificering

Polygoner klassificeras efter mått på dina vinklar och sidor. En polygon sägs vara liksidig när den har kongruenta sidor, det vill säga alla sidor är lika; och det kommer att sägas jämvikt när det har kongruenta vinklar, det vill säga alla lika vinklar.

Om en polygon är liksidig och likvinklad kommer det att vara a vanlig polygon.

I varje vanlig polygon är mitten samma avstånd från sidornadet vill säga det är lika långt från sidorna. Polygonens centrum är också centrum för cirkeln inskriven i polygonen, det vill säga omkrets som är "inuti" omkretsen.

Läs mer: Polygonlikhet: se vad villkoren är

Summan av en polygons inre vinklar

Bli den_i en inre vinkel av en vanlig n-sidig polygon, kommer vi att representera summan av dessa inre vinklar av S_i.

Således ges summan av de inre vinklarna av:

s_i = (n - 2) 180 °

För att beräkna värdet på varje inre vinkel, ta bara summan av de inre vinklarna och dela med antalet sidor, dvs:

De_i = s_i
Nej

Exempel 1

Hitta summan av de inre vinklarna och därefter måttet på varje inre vinkel för en ikosagon.

Vi vet att en ikosagon har tjugo sidor, så n = 20. Vi har bytt ut i relationerna:

s_i = (n - 2) 180 °

s_i = (20 - 2) · 180°

s_i = 18 · 180°

s_i = 3240°

Nu, för att bestämma värdet för varje inre vinkel, dela bara värdet som hittas med antalet sidor:

De_i = 3240°
20

De_i = 162°

Exempel 2

Summan av de inre vinklarna för en vanlig polygon är 720 °, hitta polygonen.

Genom att ersätta informationen i uttalandet har vi:

720 ° = (n - 2) 180 °

720 ° = 180n - 360 °

180n = 720 ° + 360 °

180n = 1080 °

n = 1080°
180°

n = 6 sidor

Således är den önskade polygonen hexagon.

Summan av en polygons yttre vinklar

Summan av en polygons yttre vinklar är alltid lika med 360 °.

s_och = 360°

De_och = s_och
Nej

De_och = 360°
Nej

Polygondiagonaler

Tänk på en n-sidig polygon. För att bestämma antalet diagonaler (d) använder vi följande förhållande:

d = n · (n - 3)
2

Exempel

Bestäm antalet diagonaler i en femkant och rita dem.

Vi vet att en femkant har fem sidor, så n = 5. För att ersätta uttrycket måste vi:

d = 5 · (5 - 3)
2

d = 5 · 2
2

d = 5

Område och omkrets av polygoner

O omkrets av polygoner definieras av summan från alla sidor. Arean på en polygon beräknas genom att dela polygonen i siffror som är lättare att beräkna området, såsom triangeln och kvadraten.

DE_Δ = bas · höjd
2

DE_fyrkant = bas · höjd

Exempel

Bestäm ett matematiskt uttryck som representerar området för en vanlig hexagon.

Lösning:

Ursprungligen överväga en vanlig sexkant och alla de raka linjesegmenten som förbinder polygonens centrum till varje toppunkt. Således:

Observera att på grund av att sexhörningen är regelbunden, när vi delar den, hittar vi sex trianglar jämvikter, så hexagonens yta är sex gånger ytan för den liksidiga triangeln, det vill säga:

DE_sexhörning = 6 · A_Δ

DE_sexhörning = 6 · l² · √3
4

DE_sexhörning = 3 · l² · √3
2

DE_sexhörning = 3 · l²·√3
2

Läs också:liksidigt triangelområde

lösta övningar

fråga 1 - (Enem) En pool är formad som en vanlig polygon vars inre vinkel är tre och en halv gånger den yttre vinkeln. Vad är summan av polygonens inre vinklar vars form är densamma som denna pool?

a) 1800 °

b) 1620

c) 1440 °

d) 1260 °

e) 1080 °

Lösning

Eftersom vi inte vet antalet sidor av polygonen, låt oss föreställa oss bara en av hörnpunkterna på denna polygon.

Från bilden kan vi se att:

De_i + den_och = 180 ° (I)

Från uttalandet har vi att:

De_i = 3,5 · a_och (II)

Om vi ​​ersätter ekvation (II) i ekvation (I) måste vi:

3,5 · a_och + den_och = 180°

4,5 · a_och = 180°

De_och = 180°
4,5

De_och = 40°

Vi vet dock att en inre vinkel är uppdelningen på 360 ° med antalet sidor av polygonen. Således:

De_och = 360°
Nej

40° = 360°
Nej

40n = 360 °

n = 360°
40°

n = 9

Därför är summan av poolens inre vinklar:

s_i = (n - 2) 180 °

s_i = (9 - 2) · 180°

s_i = 7 · 180°

s_i = 1260°

av Robson Luiz
Mattelärare