O volym av sfärenberäknas baserat på mätningen av dess radie. Sfären är en geometrisk form som har tre dimensioner. Huvudelementen i en sfär är dess radie och diameter. Volymen av sfären beräknas med hjälp av en specifik formel som kommer att presenteras nedan. Förutom volymen kan vi beräkna sfärens yta.
Läs också: Hur man beräknar volymen på en cylinder
Sammanfattning av sfärvolym
- Flera föremål i vårt dagliga liv har en sfärisk form, till exempel en fotboll.
- Huvudelementen i sfären är dess radie och diameter.
- För att beräkna volymen på sfären använder vi formeln:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Det finns andra viktiga formler, som formeln för arean av en sfär: \(A=4\pi r^2\).
Videolektion om sfärvolym
Vad är en sfär?
En sfär är en enda tredimensionell form, definierad som en tredimensionell figur vars punkter är lika långt från dess centrum. Det är en av de mest symmetriska formerna och finns i vår värld på många sätt. Vi kan uppfatta närvaron av sfären i naturen, i människokroppen, i studiet av planeterna, bland andra situationer i vårt dagliga liv.
En sfär är ett geometriskt fast ämne. Biljarden, fotbollen och basketbollen är exempel på sfärer. Den består av alla punkter som är på ett konstant avstånd från en central punkt som kallas sfärens centrum. Och detta konstanta avstånd är känt som sfärens radie.
Sfärelement
Sfären har några intressanta delar:
- Centrum: som namnet antyder är det punkten som är i mitten av sfären.
- Diameter: rakt linjesegment som förbinder två motsatta punkter på sfären, som passerar genom mitten.
- Stråle: segment som går från mitten till valfri punkt på ytan.
- Yta: sfärens yttre skikt.
- Inuti: utrymme inuti sfären.
Hur beräknar man volymen på sfären?
Volymen av sfären beräknas genom formeln:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: är volymen av sfären.
- A: är sfärens radie.
- π: är en konstant.
Okonstant värde πmest använda är cirka 3,14, men vi kan överväga π lika med cirka 3, eller cirka 3,1, eller till och med cirka 3,1415, beroende på hur många decimaler vi vill ta hänsyn till, eftersom π är ett irrationellt tal, och irrationella tal har oändliga decimaler.
- Exempel:
En sfär har en radie på 6 cm. Vad är volymen på denna sfär, med tanke på det π=3?
Upplösning:
När vi beräknar sfärens volym har vi:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
Så volymen av denna sfär är 864 cm³.
En annan sfärformel
Förutom formeln som presenteras för att beräkna volymen av sfären, finns det en annan viktig formel, som är ytarea formel. För att beräkna sfärens yta är formeln:
\(A=4\pi r^2\)
A sfärens yta är inget annat än området som omger sfären. Till exempel, i en plastkula, är sfären hela bollen, och ytan är det område av plasten som är konturen av den bollen.
- Exempel:
Vad är ytmåttet på en sfär som har en radie på 5 cm?
Upplösning:
Som värdet av π, vi kommer inte att ersätta det med något värde, så:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Arean av denna sfär är i 100πcm2.
Veta mer: Vad är skillnaden mellan omkrets, cirkel och sfär?
Lösta övningar om sfärvolym
Fråga 1
Ett sfäriskt föremål har en radie på 6 cm. Sedan volymen för detta objekt (med π=3,14) är ungefär lika med:
A) 314,42 cm3
B) 288,00 cm³
C) 424,74 cm^
D) 602,38 cm3
E) 904,32 cm3
Upplösning:
Alternativ E
Ersätter de värden som anges i uttalandet med formeln \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), vi har:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904.32{\cm}^3\)
fråga 2
En behållare har en sfärisk form. Det är känt att den har volym i 288π cm³. Genom att känna till dess volym kan vi sedan konstatera att måttet på radien för denna behållare är:
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Upplösning:
Alternativ D
Vi vet det \(V=288\pi\).
Ersätter de värden som anges i uttalandet med formeln \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), vi har \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Avbryta π på båda sidor och korsmultiplicera:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ cm\)
Källor
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Grunderna i elementär matematik: Spatial Geometry, vol. 10, 6. ed. São Paulo: Aktuell, 2005.
LIMA, E. et. al. Gymnasiematematik. volym 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
