Det är känt som en rationellt tal varje nummer som kan representeras som en oreducerbar fraktion. Genom hela mänsklighetens historia har idén om antal gradvis utvecklats i enlighet med mänskliga behov. Representationen av tal i fraktioner löste till exempel problem som endast löstes med heltal.
Ett rationellt tal kan representeras från en bråkdel, så det finns metoder för att omvandla heltal, decimaltal exakta och periodiska decimaler i bråk.
Läs också: Operationer med bråk - hur man löser det?
Vad är rationella tal?
De rationella siffrorna är en utvidgning av uppsättningen heltal, sedan, förutom hela siffrorna, lades till alla fraktioner. O uppsättning av de rationella siffrorna representeras av:
Vad denna framställning säger är att ett tal är rationellt om det kan representeras som fraktionen De handla om B, Så att De är ett heltal och B är ett heltal som inte är noll. Men om vi ska definiera rationella tal mindre strikt, kan vi säga följande:
Rationella tal är alla tal som kan representeras som en bråkdel. |
Uppfyll denna definition:
du heltals, till exempel: -10, 7, 0;
du exakta decimaltal, till exempel: 1,25; 0,1; 3,1415;
på enkla periodiska tionder, till exempel: 1.424242…;
på sammansatta periodiska tionder, till exempel: 1.0288888 ...
Nej är rationella tal:
På icke-periodiska tionder, till exempel: 4,1239489201…;
På rötterinte exakt, till exempel:
;- DE grodaiz kvadrat av negativa siffror, till exempel:
.
Observation: Förekomsten av icke-rationella tal får andra uppsättningar att dyka upp, såsom irrationella tal och komplexa tal.
Representation av rationella siffror
Att förstå att fraktionen är en division med två heltal, för att vara ett rationellt tal, du kan representera detta nummer som en bråkdel. Därför kan vart och ett av de fall som nämns ovan som rationella tal (heltal, exakta decimaler och periodiska decimaler) representeras som en bråkdel.
heltal
Det finns oändliga möjligheter att representera ett heltal som en bråk, eftersom en bråk kan representeras i oreducerbar form eller inte.
Exempel:
exakta decimaler
Omvandla ett exakt decimaltal till a fraktion, vi räknar antalet siffror i dess decimaldel, det vill säga efter decimalpunkten. Om det finns ett tal efter komma kommer vi att skriva heltalet plus decimaldelen utan komma över 10. Om det finns två siffror i decimaldelen över 100 kommer i praktiken mängden tal i decimaldelen att vara den mängd nollor vi har i nämnaren. Se exemplet:
periodiska tionder
Att hitta en del av en tionde är inte alltid en lätt uppgift, vad vi kallar generera fraktion. För att underlätta detta arbete observerades det att i ekvationen som vi använde för att hitta den genererande fraktionen finns det regelbundenheter som möjliggjorde utvecklingen av en praktisk metod.
Först måste vi förstå att det finns två typer av periodiska tionder, enkla och sammansatta. Ett tionde är enkel om det i sin decimaldel bara är den del som upprepas, det vill säga perioden. Ett tionde är sammansatt om det i sin decimaldel finns en icke-periodisk del.
Exempel:
9,323232… → enkel periodisk decimal
Heltalsdelen är lika med 9.
Perioden är lika med 32.
8,7151515... → sammansatt periodiskt tionde
Heltalsdelen är lika med 8.
Icke-periodisk decimaldel är lika med 7.
Perioden är lika med 15.
Se också: Motsvarande bråk - fraktioner som representerar samma mängd
→ 1: a fallet: generera bråkdel med en enkel periodisk decimal
I det första fallet, till förvandla en enkel periodisk decimal till en bråkdel enligt den praktiska metoden, skriv bara hela delen plus perioden utan komma i täljaren. I nämnaren lägger vi till en 9 för varje element i den periodiska delen.
Exempel:
Den genererande fraktionen av 9.323232..., som vi har sett, har en period som är lika med 32, det vill säga två tal under sin period, så nämnaren är 99. Heltalsdelen plus den periodiska delen utan komma är 932, vilket är täljaren. Så den genererande fraktionen av denna tionde är:
→ Andra fallet: generera bråkdel av en sammansatt periodisk decimal
Den periodiska sammansatta tionden är lite mer mödosam. Låt oss hitta den genererande fraktionen av tiondet vi arbetade med i exemplet.
8,7151515... → sammansatt periodiskt decimal.
Heltalsdelen är lika med 8.
Icke-periodisk decimaldel är lika med 7.
En decimaldel av perioden är lika med 15.
Täljaren kommer att vara subtraktion 8715 - 87, det vill säga skillnaden mellan antalet som går från hela delen till den periodiska delen med den icke-upprepande delen av tiondet.
Täljaren är lika med 8715 - 87 = 8628.
För att hitta nämnaren, låt oss analysera decimaldelen. Låt oss först titta på den icke-periodiska och periodiska decimaldelen. I detta fall är decimaldelen av numret 715. För varje nummer som finns i den periodiska delen, låt oss lägga till en 9 i början av nämnaren. Eftersom den periodiska delen i detta fall har två siffror (15) kommer det att finnas två 9-tal i nämnaren. För varje nummer i decimaldelen som inte är periodiskt lägger vi till en 0 i slutet av nämnaren, som kommer att vara 990.
Snart kommer den generera fraktion av tiondet kommer att vara:
Egenskaper för rationella tal
Mellan två rationella nummer kommer det alltid att finnas ett annat rationellt nummer
Det är intressant att tänka på att denna egendom, som mycket diskuterades av forntida folk, blev en paradox. Om du väljer två rationella nummer kommer det alltid att finnas ett tal mellan dem.
Exempel:
Mellan 1 och 2 är det 1,5; mellan 1 och 1,5 finns 1,25; mellan 1 och 1.25 finns 1.125 och så vidare. Så mycket som jag väljer två rationella tal med mycket liten skillnad mellan dem är det alltid möjligt att hitta ett rationellt tal mellan dem. Den här egenskapen gör omöjligt att definiera efterträdare och föregångare i rationellt antal.
De fyra operationerna på uppsättningen rationella nummer är avslutade
Vi säger att satsen är stängd för belopp, till exempel om summan av två rationella tal alltid genererar ett annat rationellt nummer som svar. Detta är vad som händer med de fyra operationerna på Q.
DE addition, subtraktion, delning och multiplikation mellan två rationella tal kommer alltid att resultera i ett rationellt nummer. I själva verket, även potentiering av ett rationellt nummer kommer alltid att generera ett rationellt nummer som svar.
Uppsättningen av rationella siffror är inte stängd för strålning. Således, meftersom 2 är ett rationellt tal är kvadratroten av 2 a irrationellt tal.
Se också: Motsvarande bråk - fraktioner som representerar samma mängd
Delmängder av rationella tal
Vi vet hur delmängder eller inkluderingsrelation uppsättningarna som bildas av element som tillhör uppsättningen rationella tal. Det finns flera möjliga delmängder, som uppsättningen heltal eller naturlig, för varje heltal är rationellt, precis som varje naturligt tal är rationellt.
Exempel:
Uppsättning av heltal: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
När det händer säger vi det Z ⸦ Q (Det lyder: Z ingår i Q eller uppsättningen heltal ingår i uppsättningen rationella tal.)
Det finns några symboler som är väsentliga för att skapa delmängder av Q, de är: +, - och *, vilket betyder, respektive, positivt, negativt och icke-noll.
Exempel:
Q * → (läser: uppsättning rationella tal som inte är noll.)
F+ → (läser: uppsättning positiva rationella tal.)
F- → (läser: uppsättning negativa rationella tal.)
F*+ → (läser: uppsättning positiva och icke-nolla rationella tal.)
F*- → (läser: uppsättning av negativa och icke-nolla rationella tal.)
Observera att alla dessa uppsättningar är delmängder av Q, eftersom alla element tillhör uppsättningen rationella nummer. Förutom de uppsättningar som presenteras kan vi arbeta med flera underuppsättningar i Q, till exempel uppsättningen bildad av udda siffror, eller kusiner, eller par, slutligen finns det flera och flera möjligheter för delmängder.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm