Vi vet hur polynom ett uttryck som indikerar den algebraiska summan av monomier som inte liknar, det vill säga polynom är ett algebraiska uttryck mellan monomialer. Monomium är en algebraisk term som har en koefficient och en bokstavlig del.
När det finns liknande termer mellan polynomierna är det möjligt att utföra minskning av villkoren i tillägg och / eller subtraktion av två polynomer. Det är också möjligt att multiplicera två polynom genom den fördelande egenskapen. Uppdelningen utförs med tangentmetoden.
Läs också: Polynomekvation - Ekvation som kännetecknas av att ha en polynom lika med 0
Vad är monomialer?
För att förstå vad ett polynom är är det viktigt att först förstå innebörden av ett monomium. Ett algebraiskt uttryck är känt som ett monomium när det har det siffror och bokstäver och deras exponenter separeras endast genom multiplikation. Siffran är känd som koefficienten, och bokstäverna och deras exponenter är kända som den bokstavliga delen.
Exempel:
2x² → 2 är koefficienten; x² är den bokstavliga delen.
√5ax → √5 är koefficienten; yxa är den bokstavliga delen.
b³yz² → 1 är koefficienten; b³yz² är den bokstavliga delen.
Vad är ett polynom?
Ett polynom är inget annat än algebraisk summa av monomier, det vill säga de är fler monomier separerade genom addition eller subtraktion från varandra.
Exempel:
ax² + med + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Generellt sett kan ett polynom ha flera termer, det representeras algebraiskt av:
DeNejxNej + den(n-1) x(n-1) +... + den2x² + a1x + a
Se också: Vilka är klasserna av polynom?
grad av ett polynom
För att hitta graden av polynom, låt oss separera den i två fall, när den har en enda variabel och när den har fler variabler. Graden av polynom anges av grad av den största av dess monomier i båda fallen.
Det är ganska vanligt att arbeta med ett polynom som bara har en variabel. När det händer, O större monomium grad vilket anger graden av polynomet är lika med den största exponenten för variabeln:
Exempel:
Enstaka variabla polynom
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → notera att variabeln är x, och den största exponenten den har är 3, så detta är en grad 3 polynom.
b) 2 år5 + 4y² - 2y + 8 → variabeln är y och den största exponenten är 5, så detta är ett polynom av grad 5.
När polynomet har mer än en variabel i ett monom, är det nödvändigt att hitta graden av denna term Lägg till-om graden exponenterna för var och en av variablerna. Således är graden av polynom, i detta fall, fortfarande lika med graden av det största monomiet, men det är nödvändigt att ta hand om att lägga till exponenterna för variablerna för varje monom.
Exempel:
a) 2xy + 4x²y3 - 5y4
När vi analyserar den bokstavliga delen av varje term måste vi:
xy → grad 2 (1 + 1)
x²y³ → grad 5 (2 + 3)
y³ → klass 3
Observera att den största termen har grad 5, så detta är en grad 5 polynom.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analysera den bokstavliga delen av varje monomium:
a²b → grad 3 (2 + 1)
ab² → grad 2 (1 + 1)
a²b² → grad 4 (2 + 2)
Således har polynom grad 4.
Lägga till polynom
Till tillsats mellan två polynomer, låt oss genomföra minskning av liknande monomier. Två monomialer är lika om de har lika bokstavliga delar. När detta händer är det möjligt att förenkla polynomet.
Exempel:
Låt P (x) = 2x² + 4x + 3 och Q (x) = 4x² - 2x + 4. Hitta värdet på P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Hitta liknande termer (som har samma bokstavliga delar):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Låt oss nu lägga till liknande monomialer:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynomisk subtraktion
Subtraktion skiljer sig inte mycket från addition. Den viktiga detaljen är att först måste vi skriva motsatt polynom innan vi genomför förenklingen av liknande termer.
Exempel:
Data: P (x) = 2x² + 4x + 3 och Q (x) = 4x² - 2x + 4. Beräkna P (x) - Q (x).
Polynom -Q (x) är motsatsen till Q (x), för att hitta motsatsen till Q (x), vänd bara tecknet på vart och ett av dess termer, så vi måste:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Då beräknar vi:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Förenkling av liknande termer har vi:
(2-4) x² + (4 + 2) x + (3-4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polynommultiplikation
För att utföra multiplikationen av två polynom använder vi det kända distribuerande egendom mellan de två polynomema, som driver multiplikationen av monomierna av den första polynom med de andra.
Exempel:
Låt P (x) = 2a² + b och Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Beräkna P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a3 + 3ab + 4b²)
När vi tillämpar distributionen kommer vi att ha:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2: a5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Om de finns nu kan vi förenkla liknande termer:
2: a5 + 6a3b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Observera att de enda liknande monomierna är markerade i orange, vilket förenklar dem emellan, vi kommer att ha följande polynom som svar:
2: a5 + (6 + 1) a3b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2: a5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Också tillgång: Hur gör man algebraisk bråkmultiplikation?
polynomdelning
utföra uppdelning av polynom kan vara ganska mödosamt använder vi det som kallas nyckelmetoden, men det finns flera metoder för detta. Uppdelningen av två polynomer det är bara möjligt om delarens grad är mindre. Genom att dela polynomet P (x) med polynomet D (x) letar vi efter ett polynom Q (x), så att:
Således har vi genom delningsalgoritmen: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → utdelning
D (x) → delare
Q (x) → kvot
R (x) → resten
När man delar uppdelningen är polynom P (x) delbart med polynom D (x) om resten är noll.
Exempel:
Låt oss verka genom att dela polynom P (x) = 15x² + 11x + 2 med polynom D (x) = 3x + 1.
Vi vill dela:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
Första steget: vi delar upp det första monomiet av utdelningen med det första av delaren:
15x²: 3x = 5x
2: a steget: vi multiplicerar 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x och subtraherar resultatet av P (x). För att utföra subtraktionen är det nödvändigt att invertera tecknen på multiplikationsresultatet och hitta polynomet:
3: e steget: vi utför delningen av den första termen av subtraktionsresultatet med delarens första term:
6x: 3x = 2
4 steg: så har vi (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Därför måste vi:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Läs också: Briot-Ruffinis praktiska anordning - uppdelning av polynom
Övningar lösta
Fråga 1 - Vad ska m-värdet vara så att polynomet P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m har grad 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Upplösning
Alternativ A
För att P (x) ska ha grad 2 måste koefficienten för x³ vara lika med noll och koefficienten för x² måste skilja sig från noll.
Så vi kommer att göra:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Å andra sidan har vi det m + 3 ≠ 0.
Så, m ≠ -3.
Således har vi som en lösning av den första ekvationen att m = 3 eller m = -3, men för den andra har vi m ≠ -3, så den enda lösningen som gör att P (x) har grad 2 är: m = 3.
Fråga 2 - (IFMA 2017) Figurens omkrets kan skrivas av polynomet:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Upplösning
Alternativ D
Från bilden, när vi analyserar den angivna längden och bredden, vet vi att omkretsen är summan av alla sidor. Eftersom längden och höjden är desamma multiplicerar vi bara summan av de angivna polynomema med 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
