Du komplexa tal härrör från behovet av att lösa ekvationer som har rot med negativt tal, som fram till dess inte var möjligt att lösa genom att arbeta med verkliga siffror. Komplexa nummer kan representeras på tre sätt: a algebraisk form (z = a + bi), som består av en verklig del De och en imaginär del B; De Geometrisk form, representerad i det komplexa planet även känt som Argand-Gauss-planet; och din trigonometrisk form, även känd som den polära formen. Baserat på deras representation, när vi arbetar med en numerisk uppsättning, har komplexa tal väldefinierade operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division och potentiering.
Genom den geometriska representationen i det komplexa planet definierar vi också modulen (representerad av |z|) av ett komplext tal - vilket är avståndet från den punkt som representerar det komplexa numret till ursprunget - och vad är argumentet för en komplexa tal - vilket är den vinkel som bildas mellan den horisontella axeln och spåret som förbinder ursprunget till den punkt som representerar numret komplex.
behov av komplexa nummer
I matematik var utvidgningen av en numerisk uppsättning till en ny uppsättning genom historien något ganska vanligt. Det händer så att matematik under loppet av det har utvecklats och sedan till tillgodose tidens behov, det märktes att det fanns siffror som inte tillhör den numeriska uppsättning som den hänvisade till. Så var det med framväxten av numeriska uppsättningar heltal, rationella, irrationella och reala, och det var inte annorlunda när det fanns ett behov av att expandera uppsättningen av reella tal till komplexa tal.
När vi försöker lösa Kvadratisk ekvation, det är ganska vanligt att vi hittar kvadratrot av ett negativt tal, vilket är omöjligt att lösa i uppsättningen av reella tal, därav behovet av komplexa tal. Början av studien av dessa siffror fick bidrag från viktiga matematiker, som Giralmo Cardono, men deras uppsättning formaliserades av Gauss och Argand.
Läs också: Geometrisk representation av summan av komplexa tal
algebraisk form av ett komplext tal
När vi försökte lösa en kvadratisk ekvation som x² = –25, sades det ofta vara olösligt. Men i ett försök att algebrize, algebraisk representation, vilket gör det möjligt att utföra operationer med dessa siffror, även om du inte kan beräkna kvadratroten av ett negativt tal.
För att underlätta lösningen av situationer där du arbetar med roten ur med ett negativt tal, den imaginär enhet.
Så när vi analyserar den ekvation som presenteras x² = -25 har vi det:
Således är lösningarna för ekvationen -5i e5i.
För att definiera den algebraiska formen, brev jag, känd som imaginär enhet av ett komplext tal. Ett komplext tal representeras av:
z = De + Bi
På vad De och B är verkliga siffror.
De: verklig del, indikerad med a = Re (z);
B: imaginär del, indikerad av Im (z);
i: imaginär enhet.
Exempel
De) 2 + 3i
B) -1 + 4i
ç) 5 – 0,2i
d) -1 – 3i
när verklig del är nollär numret känt som ren imaginär, till exempel, -5i och 5i de är rena fantasier eftersom de inte har någon verklig del.
När den imaginära delen är noll är det komplexa numret också ett reellt tal.
Operationer med komplexa siffror
Som alla numeriska uppsättningar måste operationerna vara väldefinieradDärför är det möjligt att utföra de fyra grundläggande operationerna av komplexa tal med hänsyn till den algebraiska formen som presenteras.
Lägga till två komplexa nummer
Att genomföra tillägg av två komplexa tal z1 ez2, vi lägger till den verkliga delen av z1 ez2 respektive summan av den imaginära delen.
Vara:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
Exempel 1
Förverkligande av summan av z1 och z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
Exempel 2
Förverkligande av summan av z1 och z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Se också: Geometrisk representation av summan av komplexa tal
Subtraktion av två komplexa tal
Innan vi pratar om subtraktionmåste vi definiera vad som är invers av ett komplext tal, det vill säga z = a + bi. Det inversa av z, representerat av –z, är det komplexa talet –z = –a –bi.
För att utföra subtraktionen mellan z1och -z2, liksom dessutom kommer vi att göra subtraktion mellan verkliga delar och mellan imaginära delar separat, men det är nödvändigt att förstå det -z2 det är det omvända av ett komplext tal, vilket gör det nödvändigt att spela teckenspelet.
Exempel 1
Utföra subtraktion av z1 och z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
Exempel 2
Utföra subtraktion av z1 och z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Imaginary Unit Powers
Innan vi pratar om multiplikation måste vi förstå den imaginära enhetens kraft. I sökandet efter en metod för att beräkna styrkorna för iNej, är det nödvändigt att inse att dessa krafter beter sig på ett cykliskt sätt. För detta, låt oss beräkna några styrkor i i.
Det visar sig att nästa krafter inte är något annat än dess upprepning, notera att:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
När vi fortsätter att beräkna krafterna kommer svaren alltid att vara delar av uppsättningen {1, i, –1, -i} och sedan för att hitta en ström från enheten iNej, vi delar n (exponenten) med 4, och restenav denna division (r = {0, 1, 2, 3}) blir den nya exponenten för i.
Exempel1
Beräkning av i25
När vi delar 25 med 4 kommer kvoten att vara 6 och resten är lika med 1. Så vi måste:
i 25 = i1 = i
Exempel 2
Beräkning av i 403
När vi delar 403 med 4 kommer kvoten att vara 100, för 100 · 4 = 400, och resten kommer att vara 3, så vi måste:
i 403 =i 3 = -i
Multiplikation av komplexa tal
För att utföra multipliceringen av två komplexa tal, låt oss tillämpa distribuerande egendom. Vara:
z1= a + bi
z2= c + di, sedan produkten:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di), tillämpa den fördelande egendomen,
z1 · z2 = ac + annonsi + cbi + bdi 2, men som vi har sett, i ² = -1
z1 · z2 = ac + annonsi + cbjag - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)i
Med hjälp av denna formel är det möjligt att hitta produkten med två komplexa tal, men i a I allmänhet behöver den inte dekoreras, eftersom vi för beräkningen i fråga bara tillämpar fastigheten distributiv.
Exempel
Beräkning av produkten från (2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², kommer ihåg det i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Också tillgång: Komplexa siffror, subtraktion och multiplikation
Komplext antal konjugat
Innan vi pratar om delning måste vi förstå vad konjugatet av ett komplext tal är. Konceptet är enkelt, att hitta konjugatet av ett komplext tal, bara Att utbytamos tecknet på den imaginära delen.
delning av två komplexa tal
Att genomföra delning av två komplexa tal, vi måste multiplicera fraktionen med nämnarens konjugat så att vad som är den verkliga delen och vad som är den imaginära delen är väl definierad.
Exempel
Beräkning av delning av (6 - 4i): (4 + 2i)
Se också: Motsatt, konjugat och lika komplexa tal
Komplexplan eller Argand-Gauss-plan
Känd som komplex plan eller En planrgand-gauss, han tillåter representation i geometrisk form av ett komplext antal är denna plan en anpassning i Kartesiskt plan för att representera komplexa tal. Den horisontella axeln är känd som verklig delaxel Re (z), och den vertikala axeln är känd som axel för den imaginära delen Im (z). Så det komplexa antalet som representeras av a + bi genererar punkterna i det komplexa planet som bildas av det ordnade paret (a, b).
Exempel
Representation av siffran 3 + 2i i den geometriska formen Z (3,2).
Modul och argument för ett komplext tal
Modulen för ett komplext tal, geometriskt, är avstånd från punkt (a, b) vilket representerar detta nummer i det komplexa planet till ursprungetdet vill säga punkten (0,0).
Som vi kan se | | z | är hypotenusen av rätt triangeldärför kan den beräknas genom att använda Pythagoras sats, så vi måste:
Exempel:
Beräkning av modulen z = 1 + 3i
O Deargument av ett komplext tal, geometriskt, är vinkel bildas av den horisontella axeln och | z |
För att hitta vinkelvärdet måste vi:
Målet är att hitta vinkeln θ = arg z.
Exempel:
Hitta argumentet för komplexa nummer: z = 2 + 2i:
Eftersom a och b är positiva vet vi att denna vinkel är i första kvadranten, så låt oss beräkna | z |.
Att känna till | z | är det möjligt att beräkna sinus och cosinus.
Eftersom a och b i det här fallet är lika med 2, kommer vi, när vi beräknar sinθ, att hitta samma lösning för cosinus.
Att känna till värdena för sinθ och cosθ, genom att konsultera tabellen över anmärkningsvärda vinklar och veta det θ tillhör den första kvadranten, så θ finns i grader eller radianer, så vi avslutar Vad:
Trigonometrisk eller polär form
Representationen av det komplexa numret i trigonometrisk form det är bara möjligt efter att vi förstår begreppet modul och argument. Baserat på denna framställning utvecklas viktiga begrepp för att studera komplexa tal på en mer avancerad nivå. För att utföra den trigonometriska representationen kommer vi ihåg dess algebraiska form z = a + bi, men när vi analyserar det komplexa planet måste vi:
Genom att i algebraisk form ersätta värdena för a = | z | cos θ och b = | z | sen θ, vi måste:
z = a + bi
Med z = | z | cos θ + | z | senθ jag, sätta | z | som bevis når vi formeln för den trigonometriska formen:
z = | z | (cos θ + i · Synd θ) |
Exempel: Skriv, i trigonometrisk form, numret
För att skriva i trigonometrisk form behöver vi argumentet och modulen för z.
Första steget - Beräkning av | z |
Att känna till | z | är det möjligt att hitta värdet på θ genom att se tabellen över anmärkningsvärda vinklar.
Det är nu möjligt att skriva siffran z i sin trigonometriska form med vinkeln i grader eller med vinkeln uppmätt i radianer.
Läs också: Strålning av komplexa tal i trigonometrisk form
Övningar lösta
Fråga 1 - (UFRGS) Med tanke på de komplexa siffrorna z1 = (2, –1) och z2 = (3, x), är det känt att produkten mellan z1 och z2 är ett verkligt tal. Så x är lika med:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Upplösning
Alternativ D.
För att produkten ska vara ett reellt tal är den imaginära delen lika med noll.
Genom att skriva dessa siffror i algebraisk form måste vi:
z1 = 2 – 1i och z2 = 3 + xi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + xi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3jag - xi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Eftersom vårt intresse är att den imaginära delen är lika med noll, kommer vi att lösa för 2x - 3 = 0
Fråga 2 - (UECE) Om i är det komplexa talet vars kvadrat är lika med -1, då är värdet 5i 227 + i 6 – i 13 det är samma som:
De) i + 1
b) 4i –1
c) -6i –1
d) -6i
Upplösning
Alternativ C.
För att lösa detta uttryck är det nödvändigt att hitta resten av siffrorna i division med 4.
227: 4 resulterar i en kvot på 56 och en återstod på 3.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 resulterar i kvot 1 och resten 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 resulterar i kvot 3 och resten 1.
i 13 = i1 = i
Så vi måste:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm