A tangent (förkortat tg eller tan) är en trigonometrisk funktion. För att bestämma tangenten för en vinkel kan vi använda olika strategier: beräkna förhållandet mellan sinus och cosinus för vinkeln, om de är kända; använd en tangenttabell eller en kalkylator; beräkna förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande, om vinkeln i fråga är inre (spets) i en rätvinklig triangel, bland annat.
Läs också: Vad används den trigonometriska cirkeln till?
sammanfattning om tangent
Tangent är en trigonometrisk funktion.
Tangensen för en inre vinkel till en rätvinklig triangel är förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan.
Tangensen för en vinkel är förhållandet mellan sinus och cosinus för den vinkeln.
Funktionen \(f (x)=tg\ x\) definieras för vinklar x uttryckt i radianer, så att cos \(cos\ x≠0\).
Grafen för tangentfunktionen visar vertikala asymptoter för värdena, där \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, liksom \(x=-\frac{π}2\).
Tangentlagen är ett uttryck som associerar, i vilken triangel som helst, tangenterna för två vinklar och sidorna mitt emot dessa vinklar.
Tangent av en vinkel
Om α är ett vinkel inre av en rät triangel, tangenten för α är förhållandet mellan längden på det motsatta benet och längden på det intilliggande benet:
För varje vinkel α är tangenten förhållandet mellan sin α och cosinus för α, där \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Det bör noteras att om α är en vinkel i den 1:a eller 3:e kvadranten, kommer tangenten att ha ett positivt tecken; men om α är en vinkel i den 2:a eller 4:e kvadranten, kommer tangenten att ha ett negativt tecken. Detta förhållande är ett direkt resultat av teckenregeln mellan tecknen på sinus och cosinus för varje α.
Viktig: Observera att tangenten inte finns för värden på α där \(cos\ α=0\). Detta händer för vinklar på 90°, 270°, 450°, 630° och så vidare. För att representera dessa vinklar på ett allmänt sätt använder vi radiannotation: \(\frac{ π}2+kπ\), med k hela.
Tangent av anmärkningsvärda vinklar
Använder uttrycket \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), kan vi hitta tangenterna för anmärkningsvärda vinklar, som är vinklarna 30°, 45° och 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Intressant: Utöver dessa kan vi analysera tangentvärdena för vinklarna 0° och 90°, som också används ofta. Eftersom sin 0° = 0 drar vi slutsatsen att tan 0° = 0. För 90°-vinkeln, eftersom cos90° = 0, existerar inte tangenten.
Hur beräknar man tangenten?
För att beräkna tangenten använder vi formeln tg α=sin αcos α, som används för att beräkna tangenten för valfri vinkel. Låt oss titta på några exempel nedan.
Exempel 1
Hitta tangenten för vinkeln α i den räta triangeln nedan.
Upplösning:
När det gäller vinkeln α är sidan av mått 6 den motsatta sidan och sidan av mått 8 är den intilliggande sidan. Så här:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Exempel 2
Veta att \(sin\ 35°≈0,573\) och cos\(35°≈0,819\), hitta det ungefärliga värdet för 35°-tangenten.
Upplösning:
Eftersom tangenten för en vinkel är förhållandet mellan sinus och cosinus för den vinkeln, har vi:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
tangentfunktion
Funktionen fx=tg x är definierad för vinklar x uttryckt i radianer, så att \(cos\ x≠0\). Detta betyder att tangensfunktionens domän uttrycks av:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Dessutom alla riktiga nummer är bilden av tangentfunktionen.
→ Graf över tangentfunktionen
Observera att grafen för tangentfunktionen har vertikala asymptoter för värdena där \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, liksom \( x=-\frac{π}2\). För dessa värden av x, tangenten är inte definierad (det vill säga tangenten finns inte).
Se också: Vad är domän, intervall och bild?
tangenternas lag
Lagen för tangenter är a uttryck som associerar, i en triangel någon, tangenterna för två vinklar och sidorna mitt emot dessa vinklar. Betrakta till exempel vinklarna α och β för triangeln ABC nedan. Observera att sidan CB = a är motsatt vinkeln α och att sidan AC = b är motsatt vinkeln β.
Tangentlagen säger att:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometriska förhållanden
Till trigonometriska förhållanden är de trigonometriska funktionerna arbetade på den räta triangeln. Vi tolkar dessa förhållanden som samband mellan sidorna och vinklarna i denna typ av triangel.
Lösta övningar på tangent
fråga 1
Låt θ vara en vinkel för den andra kvadranten så att sin\(sin\ θ≈0,978\), så tgθ är ungefär:
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Upplösning
Alternativ A
om \(sin\ θ≈0,978\), sedan med hjälp av trigonometrins grundläggande identitet:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Eftersom θ är en vinkel i den andra kvadranten, så är cosθ negativ, därför:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Snart:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)
fråga 2
Betrakta en rätvinklig triangel ABC med ben AB = 3 cm och AC = 4 cm. Tangens för vinkel B är:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
OCH) \(\frac{5}3\)
Upplösning:
Alternativ C
Genom uttalandet, benet mittemot vinkeln \(\hat{B}\) är AC som mäter 4 cm och benet intill vinkeln \(\hat{B}\) är AB med ett mått på 3 cm. Så här:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
