O apotem av en polygon är ett segment med ändpunkter i mitten av polygonen och i mitten av en av sidorna. Detta segment bildar en 90° vinkel med respektive sida av polygonen.
För att beräkna måttet på apotem är det nödvändigt att överväga egenskaperna hos polygonen i fråga. Beroende på den geometriska formen är det möjligt att konstruera en formel för att få detta mått. En viktig observation är att måttet på apotemet för en vanlig polygon är lika med måttet på radien på omkretsen inskriven i polygonen.
Läs också: Vad är bisektorn?
Sammanfattning om apotem
Apotem är segmentet av en polygon som förbinder centrum (mötespunkten för vinkelräta bisektrar) med mittpunkten på en av sidorna.
Vinkeln mellan apotem och respektive sida av polygonen mäter 90°.
Måttet på apotemet för en vanlig polygon är lika med måttet på radien för cirkeln inskriven i polygonen.
Apotem OM för en liksidig triangel med sida l ges av formeln
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem OM av en kvadrat med sida l ges av formeln
\(OM = \frac{l}2\)
Apotem OM för en vanlig hexagon på ena sidan l ges av formeln
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotemet för en pyramid är det segment som förenar spetsen till mittpunkten av en av basens kanter, och dess mått kan erhållas med Pythagoras sats.
Exempel på apotem
För att hitta apotem för en polygon måste vi konstruera linjesegment som förenar polygonens centrum med mittpunkten på en av sidorna. Kom ihåg att mitten av en polygon är där halvledarna möts.
I dessa exempel betraktades apotemet i plana polygoner. Det finns dock ett rymdobjekt som har en annan typ av apotem: pyramiden.
I en pyramid finns det två typer av apotem: basens apotem, som är apotem för polygonen som bildar pyramidens bas, och pyramidens apotem, som är segment som förenar vertexet till mitten av en baskant (det vill säga det är höjden på en sidoyta av basen). pyramid).
I kvadratbasexemplet nedan är segment OM apotem för basen och segment VM är apotem för pyramiden, där M är mittpunkten av BC.
Vilka är formlerna för apotem?
Genom att känna till egenskaperna hos en polygon, särskilt vanliga polygoner, kan vi utveckla formler för att beräkna mått på apotem. Låt oss se vad dessa formler är för de vanligaste vanliga polygonerna.
Liksidig triangel apotem formel
Vid liksidig triangelfall, höjden och medianen i förhållande till en given sida är desamma. Detta betyder att mitten av polygonen sammanfaller med barycenter av triangeln. Således delar punkten O höjden AM enligt följande:
\(AO = \frac{2}3 AM\) Det är \(OM=\frac{1}3 AM\)
Kom ihåg att måttet på höjden på en liksidig triangel l ges av:
\(Höjd\ triangel\ liksidig=\frac{l\sqrt3}2\)
Därför, eftersom AM är höjden av den liksidiga triangeln ABC och segmentet OM är apotem för triangeln, kan vi utveckla följande uttryck för måttet på OM, med tanke på att sidan av triangeln mäter l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem of the Square Formula
När det gäller torget, apotemets mått motsvarar halva sidans längd. Således, om O är mitten av kvadraten, är M mittpunkten på en av sidorna, och l är längden på sidan av kvadraten, så formeln för apotem OM är
\(OM=\frac{l}2\)
Vanlig hexagon apotem formel
I den reguljära hexagonen motsvarar apotem höjden av en liksidig triangel med hörn i två ändar av en av sidorna och i mitten av polygonen. I exemplet nedan är apotem OM för den reguljära hexagonen höjden på den liksidiga triangeln OCD, där M är mittpunkten på CD.
Som vi nämnde tidigare är höjden för en liksidig triangel känd. Alltså, om sidan av en vanlig hexagon mäter l, då är formeln för apotem OM
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Pyramid Apothem Formel
Måttet på pyramidens apotem kan erhållas med Pythagoras sats hjälp. I exemplet nedan, i en fyrkantig pyramid, är triangeln VOM en rektangel, med benen VO och OM och hypotenusan VM. Observera att VO är höjden på pyramiden, OM är basens apotem och VM är pyramidens apotem.
För att bestämma måttet på pyramidens apotem måste vi alltså tillämpa Pythagoras sats:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Försiktig! VM är höjden på en likbent triangel, inte en liksidig triangel. Så i det här fallet kan vi inte använda formeln för höjden på en liksidig triangel.
Hur beräknas apotemet?
För att beräkna apotemet för en polygon eller pyramiden kan vi använda de konstruerade formlerna eller associera apotemet med radien för den inskrivna cirkeln.
Exempel 1: Antag att en cirkel med radien 3 cm är inskriven i en liksidig triangel. Vad är måttet på apotem för denna triangel?
Eftersom apotem av en polygon har samma mått som radien för den inskrivna cirkeln, mäter apotem av triangeln 3 cm.
Exempel 2: Vad är måttet på apotemet för en vanlig hexagon med en sida på 4 cm?
Använda formeln för apotem av en vanlig hexagon med \(l=4\) cm, vi måste
\(Mätning\ av\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Läs också: Allt om de anmärkningsvärda punkterna i en triangel
Lösta övningar på apotem
fråga 1
Om en pyramid 4 cm hög har en basapotem på 3 cm, så är måttet på pyramidens apotem
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Upplösning:
I en pyramid kan vi konstruera en rätvinklig triangel där det ena benet är basens apotem, det andra benet är höjden på pyramiden och hypotenusan är pyramidens apotem. Om man alltså tillämpar Pythagoras sats på hypotenusan av måttet x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternativ A.
fråga 2
Om apotem för en kvadrat är y cm, är sidan av kvadraten det
De) \(\frac{1}3y \) centimeter
B) \(\frac{1}2y \) centimeter
c) y cm
d) 2y cm
e) 3y cm
Upplösning
Apotemet för en kvadrat är halva längden av sidan av kvadraten. Därför, om apotemet mäter y cm, mäter kvadraten 2y cm.
Alternativ D.
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
