Bisektor: vad det är, hur man bygger det, ekvation

bisektris och den vinkelrät linje till ett segment som skär dess mittpunkt. Vi kan konstruera den vinkelräta halveringslinjen för ett segment med hjälp av linjal och kompass. På en triangel, bisektrarna är linjer vinkelräta mot sidorna som innehåller deras mittpunkter. Således har en triangel tre vinkelräta bisektrar. Punkten där dessa bisektrar möts kallas omkretscentrum och utgör mitten av cirkeln omskriven till triangeln.

Läs också: Avstånd mellan två punkter — den kortaste vägen mellan två punkter i det kartesiska planet

Ämnen i denna artikel

  • 1 - Sammanfattning om bisekt
  • 2 - Vad är en bisektrik?
  • 3 - Hur bygger man den vinkelräta bisektrisen?
  • 4 - Hur hittar man bisektekvationen?
  • 5 - Halvled i en triangel
  • 6 - Skillnader mellan bisektris, median, bisektrik och höjd av en triangel
  • 7 - Lösta övningar på bisekt
  • Bisector är den hetero vinkelrätt mot ett segment som går genom mittpunkten.

  • Punkterna i en vinkelrät bisektrik är lika långt från segmentets ändpunkter.

  • Den vinkelräta bisektrisen kan konstrueras med linjal och kompass.

  • Ekvationen för en vinkelrät bisektrik kan bestämmas baserat på koordinaterna för segmentets ändpunkter.

  • En triangel har tre vinkelräta bisektrar, en med avseende på varje sida.

  • Skärningspunkten för halvledarna i en triangel kallas circumcenter. Denna punkt är mitten av triangelns omskrivna cirkel.

  • En triangels bisektrik skiljer sig från medianen, halveringslinjen och höjden av en triangel.

Sluta inte nu... Det kommer mer efter publiciteten ;)

Givet ett segment är den vinkelräta halveringslinjen linjen vinkelrät mot segmentet som fångar upp din mittpunkt.

Linjehalveringslinje m som korsar segmentet AB vid mittpunkten M.
Den vinkelräta bisektaren m skär segmentet AB vid mittpunkten M.

En viktig konsekvens av denna definition är att alla punkter på en vinkelrät bisektrik är på samma avstånd från segmentets ändpunkter. I matematisk symbolik, om AB är ett segment och punkten P tillhör bisektrisen, så är PA = PB.

Punkterna P i den vinkelräta bisektaren m är lika långt från ändpunkterna för segment AB.
Punkterna P i den vinkelräta bisektaren m är lika långt från ändpunkterna för segment AB.

För att konstruera den vinkelräta bisektrisen av ett segment, vi behöver bara linjal och kompass. Stegen för konstruktion är följande:

  • Steg 1: Med ett segment AB, öppna kompassen med en längd som är större än halva segmentet. Tips: en möjlighet är att använda längden på själva segmentet.

Första steget i konstruktionen av en bisektor.
Vi valde CB-storleken för öppningen av kompassen.
  • Steg 2: rita en omkrets med centrum i ena änden av segmentet och radie med måttet som valdes i steg 1.

Andra steget i konstruktionen av en bisektor.
Cirkel med centrum B och radie CB
  • Steg 3: Upprepa steg 2 för den andra änden av segmentet.

Tredje steget i konstruktionen av en bisektor.
 Ny cirkel med centrum A och radie CB.
  • Steg 4: Förena cirklarnas skärningspunkter med linjalen.

Fjärde och sista steget i konstruktionen av en vinkelrät bisektrik.
Linjen som bildas i det sista steget är halveringslinjen för segmentet.

Eftersom den vinkelräta bisektaren är en rät linje kan vi bestämma a ekvation som beskriver dina poänger, vara r raden som innehåller ett segment AB bortskänkt, s bisektrisen för detta segment och P (x, y) någon punkt på den vinkelräta bisektrisen.

Förutsatt att punkternas koordinater A Det är B är kända kan vi erhålla vinkelkoefficienten n av raken r. Som r Det är s är vinkelräta, lutningen m av raken s (den vinkelräta halveringslinjen) kan också hittas, eftersom det är motsatsen till multiplikativ invers av n. Med hjälp av uttrycket för linjens grundläggande ekvation, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), på vad \(M(x\_0,y\_0)\) är mittpunkten av AB, vi har slutfört bisektekvationen.

  • Exempel:

Bestäm bisektekvationen för segmentet som bestäms av punkterna A(1,2) och B(3,6).

Upplösning:

Låt oss först ta lutningen n av raken r som innehåller segmentet AB:

\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)

Nu letar vi efter segmentets mittpunkt M AB:

\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)

Kom ihåg att den vinkelräta bisektrisen s önskad är vinkelrät mot linjen r (som innehåller segmentet AB). Sedan, vinkelkoefficienten m av raken s och vinkelkoefficienten n av raken r är relaterade enligt följande:

\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)

Därför, \( m_s=\frac{-1}2\).

Slutligen använder vi linjens fundamentala ekvation för att bestämma halveringslinjen s, en linje som har lutning lika med \(-\frac{1}2\) och passerar genom punkten (2,4):

\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)

\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)

\(y=-\frac{1}2 x+5\)

De tre sidorna av en triangel är linjesegment. Sålunda hänvisar termen "bisektrik av en triangel" till halvledardelen av en av sidorna av denna geometriska figur. Därför, triangelnhar tre bisektorer. Se nedan:

Representation av de tre halvledarna i en triangel.
 den raka \(m_1\), \(m_2\) Det är \(m_3\) är triangelns halvled.

Punkten där halvledarna i en triangel möts kallas circumcenter., eftersom det är mitten av cirkeln omskriven till triangeln (det vill säga cirkeln som passerar genom triangelns tre hörn).

Representation av ett circumcenter, mötespunkten för halvledarna i en triangel.
Punkt D kallas circumcenter.

Viktig:Eftersom omkretscentrum är en punkt som är gemensam för de tre vinkelräta halvledarna, är dess avstånd från vart och ett av hörnen detsamma. I matematisk symbolik, om D är triangelns omkretscentrum ABC, då \(AD=BD=CD\).

Halvled, median, halvled och höjd av en triangel är olika begrepp. Låt oss titta på var och en för sig och sedan tillsammans.

  • Halvled i en triangel: är linjen vinkelrät mot en av sidorna som skär dess mittpunkt.

Halvled i en triangel.
Halvled i en triangel.
  • Median för en triangel: är segmentet med ändpunkter i en vertex av triangeln och i mitten av sidan mitt emot vertex.

 Medianen av en triangel.
 Medianen av en triangel.
  • Halvled i en triangel: är segmentet som delar sig i hälften av ett vinklar sidor av triangeln, med ändpunkter vid en av hörnen och på motsatt sida.

Halvled i en triangel.
Halvled i en triangel.
  • Höjd på en triangel: är segmentet vinkelrätt mot en av sidorna med änden i vinkeln motsatt sidan.

höjden på en triangel
höjden på en triangel

I följande bild markerar vi, i förhållande till segmentet BC i triangeln, höjden (streckad streck i orange), bisektrisen (streckad linje i lila), medianen (prickad linje i grönt) och den vinkelräta halveringslinjen (heldragen linje i röd).

Jämförelse mellan höjd, bisektrik, median och bisektrik i en triangel.
Jämförelse mellan höjd, bisektrik, median och bisektrik i en triangel.

Viktig: På en liksidig triangel, det vill säga som har de tre sidorna och de tre vinklarna lika, halvledarna, medianerna, halvledarna och höjderna sammanfaller. Följaktligen anmärkningsvärda punkter i en triangel (cirkumcenter, barycenter, incenter och ortocenter) sammanfaller också. I bilden nedan markerar vi, i förhållande till segment BC, bisektris, median, bisektrik och höjd i en kontinuerlig svart linje. Den markerade punkten E är därför circumcenter, barycenter, incenter och ortocenter av triangeln ABC.

Halvled, median, bisektrik och höjd av en liksidig triangel.

Se också: Metriska relationer i den inskrivna liksidiga triangeln - vad är de?

fråga 1

Betrakta påståendena nedan.

i. En triangels bisektrik är det segment som börjar vid en vertex och korsar mittpunkten på den motsatta sidan.

II. Punkten där halvledarna i en triangel möts kallas circumcenter. Denna punkt är mitten av cirkeln omskriven till triangeln och på samma avstånd från hörnen.

III. Bisektrisen av ett segment är den vinkelräta linjen som skär segmentet vid mittpunkten.

Vilket alternativ innehåller rätt(a)?

A) Jag, bara.

B) II, endast.

C) Endast III.

D) I och II.

E) II och III.

Upplösning:

Alternativ E

Påstående I är det enda felaktiga, eftersom det beskriver medianen för en triangel.

fråga 2

(Enem — anpassad) De senaste åren har tv genomgått en verklig revolution när det gäller bildkvalitet, ljud och interaktivitet med tittaren. Denna transformation beror på omvandlingen av den analoga signalen till den digitala signalen. Men många städer har fortfarande inte denna nya teknik. För att få dessa fördelar till tre städer, avser en tv-station att bygga ett nytt sändningstorn som skickar en signal till antennerna A, B och C, som redan finns i dessa städer. Antennplatserna är representerade i det kartesiska planet:

 Platser för tre antenner plottade på ett kartesiskt plan.

Tornet måste placeras på samma avstånd från de tre antennerna. Den lämpliga platsen för konstruktionen av detta torn motsvarar koordinatpunkten

A) (65, 35).

B) (53, 30).

C) (45, 35).

D) (50, 20).

E) (50, 30).

Upplösning:

Alternativ E

Observera att platsen för tornet måste vara omkretsen av triangeln som bildas av punkterna A, B och C, eftersom det är platsen för de tre antennerna på samma avstånd.

Koordinaterna för T-tornet är\((x_t, y_t)\). Eftersom T tillhör bisektrisen av AB (given av linjen x = 50), måste tornets horisontella placering vara \(x_t=50\).

För att bestämma den horisontella koordinaten \(y_t\) av tornet kan vi använda uttrycket för avståndet mellan två punkter två gånger. Eftersom tornet är på samma avstånd, till exempel från hörnen A och C (AT = CT), har vi:

\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)

Förenklat får vi \(y_t=30\).

Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare

Ta reda på vad en polygons apotem är och hur man beräknar dess mått. Känn också till huvudformlerna för denna beräkning.

Se här de viktigaste egenskaperna hos omkretsen och lär dig hur du beräknar dess area och längd. Se även hur man skriver en cirkels ekvation.

Bestämma tangenten för linjens lutningsvinkel.

Det kortaste avståndet mellan två punkter är en rak linje. Se hur du beräknar detta avstånd och lär dig hur du upprättar ett matematiskt samband för att bestämma det

Ta reda på vad den allmänna ekvationen för linjen är och hur du hittar den, förutom att kontrollera den grafiska representationen av en linje från dess ekvation.

Lär dig hur du beräknar mittpunkten av ett linjesegment med hjälp av analytisk geometri!

Se här de anmärkningsvärda punkterna i en triangel och lär dig dess huvudsakliga egenskaper. Se också hur dessa punkter kan underlätta lösningen av vissa problem.

Förstå vad vinkelräta linjer är och lär dig vad som är villkoret för att två linjer representerade i det kartesiska planet ska vara vinkelräta eller inte.

Extratropisk cyklon: vad det är, i Brasilien, i världen

Extratropisk cyklon: vad det är, i Brasilien, i världen

extratropisk cyklon är ett atmosfäriskt fenomen som kännetecknas av lågtryckssystem som bosätter ...

read more
Vad ska man studera om meteorer?

Vad ska man studera om meteorer?

Invånare i delstaterna Minas Gerais, São Paulo och Goiás rapporterade på sociala nätverk att de s...

read more

Jordskred: orsaker, typer, hur man undviker

Jordskred är en typ av massrörelse och kännetecknas av glidning av sträckor av jord, bitar av ste...

read more