A diamantområdet är mätningen av dess inre region. Ett sätt att beräkna arean av en romb är att bestämma hälften av produkten mellan den större diagonalen och den mindre diagonalen, vars mått representeras av D Det är d respektive.
Läs också: Hur beräknar man arean av en kvadrat?
Sammanfattning om rombens område
En romb är ett parallellogram med fyra kongruenta sidor och motsatta kongruenta vinklar.
De två diagonalerna på en romb är kända som den större diagonalen (D) och mindre diagonal (d).
Varje diagonal i en romb delar upp polygonen i två kongruenta trianglar.
Rombens två diagonaler är vinkelräta och skär varandra vid deras mittpunkter.
Formeln för att beräkna arean av romben är:
\(A=\frac{D\ gånger d}{2}\)
rombelement
diamanten är ett parallellogram formad av fyra lika långa sidor och motsatta vinklar av samma mått. I diamanten nedan har vi \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\hat{P}=\hat{R}\) Det är \(\hat{Q}=\hat{S}\).
Segmenten med ändar vid motsatta hörn är rombens diagonaler. I bilden nedan kallar vi segmentet
\(\overline{PR}\) i större diagonal och segmentet \(\overline{QS}\) i mindre diagonal.
Diagonala egenskaper hos romben
Låt oss veta två egenskaper relaterade till rombens diagonaler.
Egendom 1: Varje diagonal delar romben i två kongruenta likbenta trianglar.
Tänk först på den större diagonalen \(\overline{PR}\) av en romb PQRS bredvid l.
inse det \(\overline{PR}\) Dela romben i två trianglar: PQR Det är PSR. Än:
\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)
\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)
\(\overline{PR}\) det är en gemensam sida.
Således, enligt LLL-kriteriet, trianglarna PQR Det är PSR är kongruenta.
Tänk nu på den mindre diagonalen \(\overline{QS}\).
inse det \(\overline{QS} \) Dela romben i två trianglar: PQS Det är RQS. Än:
\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)
\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)
\(\overline{QS}\) det är en gemensam sida.
Således, enligt LLL-kriteriet, trianglarna PQS Det är RQS är kongruenta.
Egendom 2: Diagonalerna på en romb är vinkelräta och skär varandra i mitten av varandra.
Vinkeln som bildas av diagonalerna \(\overline{PR}\) Det är \(\overline{QS}\) mäter 90°.
Det ärO diagonalernas mötespunkt \(\overline{{PR}}\) Det är \(\overline{{QS}}\); så här, O är mittpunkten av \(\overline{PR}\) och är också mittpunkten av \(\overline{QS}\). om \( \overline{PR}\)ge mig D Det är \(\overline{QS}\) ge mig d, Detta innebär att:
\(\overline{PO}=\overline{ELLER}=\frac{D}{2}\)
\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)
Observation: De två diagonalerna på en romb delar denna figur i fyra kongruenta rätvinkliga trianglar. överväga trianglarna PQO, RQO, PSO Det är RSO. Observera att var och en har en måttsida. l (hypotenusan), en av måtten \(\frac{D}{2}\) och ytterligare en åtgärd \(\frac{d}{2}\).
Se också: Jämförelse och likhet mellan trianglar
formel för rombområde
Det är D längden på den större diagonalen och d måttet på den mindre diagonalen hos en romb; Formeln för rombens area är:
\(A=\frac{D\ gånger d}{2}\)
Nedan är en demonstration av denna formel.
Enligt den första egenskapen vi studerade i denna text, diagonalen \(\overline{QS}\) dela diamanten PQRS i två kongruenta trianglar (PQS Det är RQS). Det betyder att dessa två trianglar har samma area. Följaktligen, arean av romben är dubbelt så stor som arean av en av dessa trianglar.
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\ gånger A_{triangel} PQS\)
Enligt den andra egenskapen vi studerade, triangelns bas PQS ge mig d och höjdmåtten D2. Kom ihåg att arean av en triangel kan beräknas med bas × höjd2. Snart:
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\ gånger A_{triangel} PQS\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
Hur beräknar man arean på en romb?
Som vi såg, om måtten på diagonalerna är informerade, räcker det tillämpa formeln för att beräkna arean av en romb:
\(A=\frac{D\ gånger d}{2}\)
Annars måste vi anta andra strategier, med tanke på till exempel egenskaperna hos denna polygon.
Exempel 1: Vad är arean för en romb vars diagonaler mäter 2 cm och 3 cm?
Genom att tillämpa formeln har vi:
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{3\times2}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=3 cm²\)
Exempel 2: Vad är arean för en romb vars sida respektive mindre diagonalmått, 13 cm och 4 cm?
Genom att observera egenskap 2, diagonalerna på en romb delar upp denna polygon i fyra rätvinkliga trianglar kongruent. Varje rätvinklig triangel har måttben \(\frac{d}{2}\) Det är \(\frac{D}{2}\) och mät hypotenusan l. Enligt Pythagoras sats:
\(l^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\)
byter ut \(d=4 cm\) Det är d=4 cm, vi måste
\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )
\(13=4+\frac{D^2}{4}\)
\(D^2=36\)
Som D är måttet på ett segment, kan vi bara betrakta det positiva resultatet. Dvs:
D=6
Genom att tillämpa formeln har vi:
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{6\times4}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\ 12 cm²\)
Veta mer: Formler som används för att beräkna arean av planfigurer
Övningar på området av romben
fråga 1
(Fauel) I en romb mäter diagonalerna 13 och 16 cm. Vad är måttet på ditt område?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Upplösning: alternativ C
Genom att tillämpa formeln har vi:
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{16\times13}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\ 104 cm²\)
fråga 2
(Fepese) En fabrik tillverkar keramiska bitar i form av en diamant, vars mindre diagonal mäter en fjärdedel av den större diagonalen och den större diagonalen mäter 84 cm.
Därför är ytan för varje keramisk del som produceras av denna fabrik, i kvadratmeter:
a) större än 0,5.
b) större än 0,2 och mindre än 0,5.
c) större än 0,09 och mindre än 0,2.
d) större än 0,07 och mindre än 0,09.
e) mindre än 0,07.
Upplösning: alternativ D
om D är den större diagonalen och d är den mindre diagonalen, då:
\(d=\frac{1}{4}D\)
\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)
\(d=21 cm\)
Att tillämpa formeln har vi
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{84\times21}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=882 cm²\)
Som 1 cm² motsvarar \(1\cdot{10}^{-4} m²\), sedan:
\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)
\(x=0,0882 m²\)
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm