O standardavvikelse är ett mått på spridning, liksom varians och variationskoefficient. När vi bestämmer standardavvikelsen kan vi fastställa ett intervall runt det aritmetiska medelvärdet (division mellan summan av siffror i en lista och antalet tillagda siffror) där de flesta data är koncentrerade. Ju större standardavvikelsens värde är, desto större är datavariabiliteten, det vill säga desto större avvikelse från det aritmetiska medelvärdet.
Läs också: Läge, medelvärde och median — de viktigaste måtten på centrala tendenser
Ämnen i denna artikel
- 1 - Sammanfattning av standardavvikelsen
- 2 - Vad är standardavvikelse?
- 3 - Hur beräknar man standardavvikelsen?
- 4 - Vilka typer av standardavvikelse finns?
- 5 - Vilka är skillnaderna mellan standardavvikelse och varians?
- 6 - Lösta övningar om standardavvikelse
Standardavvikelse sammanfattning
- Standardavvikelse är ett mått på variabilitet.
- Standardavvikelsenotation är den grekiska gemena bokstaven sigma (σ) eller bokstaven s.
- Standardavvikelsen används för att verifiera variabiliteten av data runt medelvärdet.
- Standardavvikelsen bestämmer ett intervall \(\vänster[\mu-\sigma,\mu+\sigma\höger]\), där det mesta av data finns.
- För att beräkna standardavvikelsen måste vi hitta kvadratroten av variansen:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Vad är standardavvikelse?
Standardavvikelsen är en spridningsmått som antagits i statistik. Dess användning är kopplad till varianstolkning, vilket också är ett mått på spridning.
I praktiken standardavvikelsen bestämmer ett intervall, centrerat på det aritmetiska medelvärdet, i vilket de flesta data är koncentrerade. Således, ju större standardavvikelsens värde är, desto större är oegentligheten i data (mer information heterogen), och ju mindre standardavvikelsens värde är, desto mindre är oegentligheten i data (mer information homogen).
Sluta inte nu... Det kommer mer efter publiciteten ;)
Hur beräknar man standardavvikelsen?
För att beräkna standardavvikelsen för en datamängd, vi måste hitta kvadratroten av variansen. Så formeln för att beräkna standardavvikelsen är
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → inblandade uppgifter.
- μ → aritmetiskt medelvärde av data.
- N → mängd data.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\vänster (x_3-\mu\höger)^2+...+\vänster (x_N-\mu\höger)^2 \)
Den sista posten, som hänvisar till täljaren för radikanden, anger summan av kvadrater av skillnaden mellan varje datapunkt och det aritmetiska medelvärdet. Vänligen notera att måttenheten för standardavvikelsen är samma måttenhet som data x1,x2,x3,…,xNej.
Även om skrivningen av denna formel är lite komplex, är dess tillämpning enklare och mer direkt. Nedan är ett exempel på hur man använder detta uttryck för att beräkna standardavvikelsen.
- Exempel:
Under två veckor registrerades följande temperaturer i en stad:
Veckodag |
söndag |
Andra |
Tredje |
Fjärde |
Femte |
fredag |
lördag |
vecka 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
vecka 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
Under vilken av de två veckorna förblev temperaturen mer regelbunden i denna stad?
Upplösning:
För att analysera temperaturregelbundenhet måste vi jämföra standardavvikelserna för temperaturerna som registrerats under vecka 1 och 2.
- Låt oss först titta på standardavvikelsen för vecka 1:
Observera att genomsnittet μ1 Det är Nej1 dom är
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\approx29.57\)
\(N_1=7 \) (7 dagar i veckan)
Vi måste också beräkna kvadraten på skillnaden mellan varje temperatur och medeltemperaturen.
\(\vänster (29-29.57\höger)^2=0.3249\)
\(\vänster (30-29.57\höger)^2=0.1849\)
\(\vänster (31-29.57\höger)^2=2.0449\)
\(\vänster (31.5-29.57\höger)^2=3.7249\)
\(\vänster (28-29.57\höger)^2=2.4649\)
\(\vänster (28,5-29,57\höger)^2=1,1449\)
\(\vänster (29-29.57\höger)^2=0.3249\)
Lägger vi till resultaten har vi att täljaren för radikanden i standardavvikelsens formel är
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Så vecka 1 standardavvikelsen är
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \approx1,208\ °C\)
Obs: Detta resultat betyder att större delen av vecka 1 temperaturer ligger i intervallet [28,36 °C, 30,77 °C], det vill säga intervallet \(\vänster[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\höger]\).
- Låt oss nu titta på standardavvikelsen vecka 2:
Efter samma resonemang har vi
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\vänster (28.5-28.5\höger)^2=0\)
\(\vänster (27-28,5\höger)^2=2,25\)
\(\vänster (28-28,5\höger)^2=0,25\)
\(\vänster (29-28,5\höger)^2=0,25\)
\(\vänster (30-28,5\höger)^2=2,25\)
\(\vänster (28-28,5\höger)^2=0,25\)
\(\vänster (29-28,5\höger)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Så vecka 2 är standardavvikelsen
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \approx0,89\ °C\)
Detta resultat innebär att de flesta temperaturer i vecka 2 ligger inom intervallet \(\vänster[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\höger]\), det vill säga räckvidden \(\vänster[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\höger]\).
inse det \(\sigma_2, det vill säga standardavvikelsen vecka 2 är mindre än standardavvikelsen vecka 1. Därför presenterade vecka 2 mer regelbundna temperaturer än vecka 1.
Vilka typer av standardavvikelse finns det?
Typerna av standardavvikelse är relaterade till typen av dataorganisation. I det föregående exemplet arbetade vi med standardavvikelsen för ogrupperade data. För att beräkna standardavvikelsen för en uppsättning annars organiserade data (t.ex. grupperade data) skulle du behöva justera formeln.
Vilka är skillnaderna mellan standardavvikelse och varians?
standardavvikelsen är kvadratroten av variansen:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
När varians används för att bestämma variabiliteten för en datamängd, har resultatet dataenheten kvadratisk, vilket gör analysen svår. Således är standardavvikelsen, som har samma enhet som data, ett möjligt verktyg för att tolka variansresultatet.
Veta mer:Absolut frekvens — antalet gånger samma svar dök upp under datainsamlingen
Lösta övningar om standardavvikelse
fråga 1
(FGV) I en klass med 10 elever var elevernas betyg i en bedömning:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Standardavvikelsen för denna lista är ungefär
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1,5.
Upplösning:
Alternativ C.
Enligt uttalandet, N = 10. Genomsnittet av denna lista är
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Dessutom,
\(\vänster (6-8\höger)^2=4\)
\(\vänster (7-8\höger)^2=1\)
\(\vänster (8-8\höger)^2=0\)
\(\vänster (9-8\höger)^2=1\)
\(\vänster (10-8\höger)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Så standardavvikelsen för denna lista är
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\approx1.1\)
fråga 2
Betrakta påståendena nedan och betygsätt var och en som T (sant) eller F (falskt).
i. Kvadratroten av variansen är standardavvikelsen.
II. Standardavvikelsen har inget samband med det aritmetiska medelvärdet.
III. Varians och standardavvikelse är exempel på spridningsmått.
Rätt ordning, uppifrån och ner, är
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Upplösning:
E alternativ.
i. Kvadratroten av variansen är standardavvikelsen. (Sann)
II. Standardavvikelsen har inget samband med det aritmetiska medelvärdet. (falsk)
Standardavvikelsen indikerar ett intervall runt det aritmetiska medelvärdet i vilket de flesta data faller.
III. Varians och standardavvikelse är exempel på spridningsmått. (Sann)
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Mattelärare
Se här statistikens huvudbegrepp och principer. Se även hur statistikstudiet är uppdelat och följ några av dess tillämpningar.
Klicka och lär dig spridningsmåtten som kallas amplitud och avvikelse och se exempel på tillämpningen av dessa sätt att analysera information.
Kolla in definitionen och hur man tillämpar varians och standardavvikelse, två viktiga spridningsmått.
Klicka och lär dig hur du beräknar det aritmetiska medelvärdet, ett mått på centralitet vars resultat representerar en lista med information.
Kvadratrot är en matematisk operation som används på alla skolnivåer. Lär dig nomenklaturerna och definitionerna, såväl som deras geometriska tolkning.
Vet du vad varians är? Lär dig hur du räknar och hur du använder detta intressanta spridningsmått!
