DE Den interna bisektorsatsen utvecklades speciellt för trianglar och visar att när vi spårar den inre bisektrisen av en vinkel i triangeln, så delar mötespunkten för bisektrisen med den motsatta sidan den sidan i linjesegment proportionell mot de intilliggande sidorna av den vinkeln. Med tillämpning av den interna bisektorsatsen det är möjligt att bestämma värdet på sidan eller segmenten av triangeln med hjälp av proportionen mellan dem.
Se också: Median, vinkelhalveringslinje och höjd av en triangel — vad är skillnaden?
Sammanfattning om den interna bisektorsatsen:
Bisektaren är en stråle som delar vinkeln i två kongruenta vinklar.
Den inre bisektorsatsen är specifik för trianglar.
Detta teorem bevisar att bisekturen delar den motsatta sidan i proportionella segment till sidorna intill vinkel.
Videolektion om den interna bisektorsatsen
Vad är bisektorsatsen?
Innan vi förstår vad den inre bisektorsatsen säger är det viktigt att veta vad som är bisektris av en vinkel. Det är en stråle som delar vinkeln i två kongruenta delar., det vill säga två delar som har samma mått.
När vi förstår vad bisektrisen är, märker vi att den finns i den inre vinkeln av en triangel. När vi avgränsar halveringslinjen för en vinkel i triangeln kommer den att dela den motsatta sidan i två segment. När det gäller den inre bisektorn, dess sats säger att de två segmenten dividerade med den är proportionella mot de intilliggande sidorna av vinkeln.
Observera att bisektrisen delar sidan AC i två segment, AD och DC. Bisektorsatsen visar det:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Veta mer: Pythagoras sats — en annan sats utvecklad för trianglar
Bevis för den inre bisektorsatsen
I triangeln ABC nedan kommer vi att avgränsa segmentet BD, som är bisektrisen av denna triangel. Dessutom kommer vi att spåra förlängningen av dess sida CB och segmentet AE, parallellt med BD:
Vinkel AEB är kongruent med vinkel DBC, eftersom CE är en hetero tvärgående mot de parallella segmenten AE och BD.
tillämpar Thales sats, vi drog slutsatsen att:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Nu vi det återstår att visa att BE = AB.
Eftersom x är måttet på vinkeln ABD och DBC, analyserar vi vinkeln ABE, får vi:
ABE = 180 - 2x
Om y är måttet på vinkeln EAB har vi följande situation:
Vi vet att summan av triangelns inre vinklar ABE är 180°, så vi kan beräkna:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Om vinkeln x och vinkeln y har samma mått, är triangeln ABE likbent. Därför är sidan AB = AE.
Eftersom summan av de inre vinklarna i en triangel alltid är lika med 180°, har vi i triangeln ACE:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Eftersom y = x är triangeln ACE likbent. Därför är segmenten AE och AC kongruenta. Byter AE mot AC in anledning, det är bevisat att:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Exempel:
Hitta värdet på x i följande triangel:
Genom att analysera triangeln får vi följande förhållande:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Korsmultiplikation:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Läs också: Anmärkningsvärda punkter i en triangel - vad är de?
Lösta övningar om den interna bisektorsatsen
fråga 1
Om vi tittar på triangeln nedan kan vi säga att värdet på x är:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Upplösning:
Alternativ D
Genom att tillämpa den interna bisektorsatsen får vi följande beräkning:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Korsmultiplikation:
\(27x=18\ \vänster (30-x\höger)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
fråga 2
Analysera följande triangel, med vetskap om att dina mått gavs i centimeter.
Omkretsen av triangeln ABC är lika med:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Upplösning:
Alternativ C
Genom att tillämpa bisektorssatsen hittar vi först värdet av x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \vänster (4x-9\höger)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Således mäter de okända sidorna:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Kom ihåg att mätlängd som användes var cm, den omkrets av denna triangel är lika med:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm
