Sexhörning det är polygon som har 6 sidor. Det är regelbundet när alla sidor och inre vinklar är kongruenta med varandra. Det är oregelbundet när det inte har dessa egenskaper. Det första fallet är det mest studerade, för när hexagonen är regelbunden har den specifika egenskaper och formler som gör att vi kan beräkna dess area, omkrets och apotem.
Läs också: Vad är en losvinkel?
Abstrakt om hexagon
Hexagon är en 6-sidig polygon.
Det är regelbundet när alla sidor är kongruenta.
Det är oregelbundet när alla sidor inte är kongruenta.
I en vanlig hexagon mäter varje inre vinkel 120°.
Summan av vinklar ytterkanterna på en vanlig hexagon är alltid 360°.
För att beräkna arean av en vanlig hexagon använder vi formeln:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O omkrets av en hexagon är summan av dess sidor. När det är vanligt har vi:
P = 6L
Apotemet för en vanlig hexagon beräknas med formeln:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Vad är hexagon?
Hexagon är vilken polygon som helst har 6 sidor, därav 6 hörn och 6 vinklar. Eftersom det är en polygon är det en sluten platt figur med sidor som inte skär varandra. Hexagonen är en återkommande form i naturen, som i bikakor, i strukturer av
organisk kemi, i skalen på vissa sköldpaddor och i snöflingor.Videolektion om polygoner
hexagonelement
En hexagon består av 6 sidor, 6 hörn och 6 inre vinklar.
Vertices: punkterna A, B, C, D, E, F.
sidor: segmenten \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Inre vinklar: vinklarna a, b, c, d, f.
Klassificering av hexagoner
Hexagoner, liksom andra polygoner, kan klassificeras på två sätt.
vanlig hexagon
Hexagonen är regelbunden när den har alla dess kongruenta sidor — följaktligen kommer deras vinklar också att vara kongruenta. Den vanliga hexagonen är den viktigaste av alla, eftersom den är den mest studerade. Det är möjligt att beräkna flera av dess aspekter, såsom arean, med specifika formler.
Observation: Den vanliga hexagonen kan delas in i 6 liksidiga trianglar, det vill säga trianglar med alla sidor lika.
→ oregelbunden hexagon
Oregelbunden hexagon är en som har sidor med olika åtgärder. Det kan vara konvext eller icke-konvext.
konvex oregelbunden hexagon
hexagonen är konvex när du har allt invändiga vinklar mindre än 180°.
→ Oregelbunden icke-konvex hexagon
En hexagon är icke-konvex när den har invändiga vinklar större än 180°.
hexagonegenskaper
→ Antal diagonaler i en hexagon
Den första viktiga egenskapen är det i en konvex hexagon finns det alltid 9 diagonaler. Vi kan hitta dessa 9 diagonaler geometriskt:
Vi kan också hitta diagonalerna algebraiskt med följande formel:
\(d=\frac{n\vänster (n-3\höger)}{2}\)
Om vi ersätter 6 i ekvationen har vi:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\höger)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Så en konvex hexagon kommer alltid att ha 9 diagonaler.
Veta mer: Rektangulär blockdiagonal — segment som förbinder två av dess hörn som inte är på samma yta
→ Inre vinklar av en hexagon
I en hexagon, den summan av dess inre vinklar är 720°. För att utföra denna summa, byt bara ut 6 i formeln:
\(S_i=180\vänster (n-2\höger)\)
\(S_i=180\vänster (6-2\höger)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
I en vanlig hexagon kommer de inre vinklarna alltid att mäta 120° vardera, eftersom
720°: 6 = 120°
→ Yttre vinklar av en vanlig sexkant
När det gäller de yttre vinklarna vet vi att Deras summa är alltid lika med 360°. Eftersom det finns 6 yttre vinklar kommer var och en av dem att mäta 60°, som
360°: 6 = 60°
→ Vanlig hexagon apotem
En apotem av en vanlig polygon anses varalinjesegmentet ansluter polygonens centrum till mittpunkt på din sida. Som vi vet är den regelbundna hexagonen sammansatt av 6 liksidiga trianglar, så apotem motsvarar höjden av en av dessa liksidiga trianglar. Värdet på detta segment kan beräknas med formeln:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ omkrets av hexagon
För att beräkna omkretsen av en hexagon, utför helt enkelt summan av dess 6 sidor. När hexagonen är regelbunden är dess sidor kongruenta, så det är möjligt att beräkna hexagonens omkrets med formeln:
P = 6L
→ regelbundet hexagonområde
Eftersom vi vet att den reguljära hexagonen är sammansatt av 6 liksidiga trianglar med sidor som mäter L, är det möjligt att härleda en formel för beräkning av dess area, med hjälp av beräkningen av område av en triangel liksidig multiplicerad med 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Observera att det är möjligt att förenkling dividerat med 2, generera sedan formeln för att beräkna arean av hexagonen:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Hexagon inskriven i en cirkel
Vi säger att en polygon är inskriven i a omkrets när han är inuti cirkeln, och dess hörn är punkter på denna. Vi kan representera den regelbundna hexagonen inskriven i en cirkel. När vi gör denna representation är det möjligt att verifiera att längden på cirkelns radie är lika med längden på sidan av hexagonen.
Vet också: Cirkel och omkrets - vad är skillnaden?
Hexagon omskriven i en cirkel
Vi säger att en polygon är omgiven av en cirkel när omkretsen är inuti denna polygon. Vi kan representera den omskrivna regelbundna hexagonen. I det här fallet är cirkeln tangent till mittpunkten på varje sida av hexagonen, vilket gör cirkelns radie lika med hexagonens apotem.
hexagonalt baserat prisma
DE Plan geometri ligger till grund för studier av Rumslig geometri. O hexagon kan vara närvarande vid basen av geometriska fasta ämnen, som i prismor.
För att hitta volymen av a prisma, beräknar vi produkten av arean av basen och höjden. Eftersom dess bas är en hexagon, är dess volym kan beräknas genom:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Läs också: Volym av geometriska fasta ämnen - hur beräknar man?
Sexkantig baspyramid
Förutom det hexagonala prismat, det finns också pyramider sexkantig bas.
att upptäcka volymen av en pyramid av hexagonal bas, beräknar vi produkten av arean av basen, höjden och dividerar med 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Observera att vi multiplicerar och dividerar med tre, vilket tillåter a förenkling. Så, volymen av en hexagonal-baserad pyramid beräknas med formeln:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Lösta övningar på hexagon
fråga 1
Ett land är format som en vanlig hexagon. Du vill omge detta område med taggtråd, så att tråden går runt territoriet 3 gånger. Att veta att totalt 810 meter tråd användes för att omsluta hela landet, mäter området för denna hexagon ungefär:
(Använda sig av \(\sqrt3=1.7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Upplösning:
Alternativ B
Omkretsen av den vanliga hexagonen är
\(P=6L\)
Eftersom 3 varv gjordes spenderades totalt 270 meter för att slutföra ett enda varv, eftersom vi vet att:
810: 3 = 270
Så vi har:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ meter\)
Genom att veta längden på sidan kommer vi att beräkna arean:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Avrundning får vi:
\(A\approx5164m^2\)
fråga 2
(PUC - RS) För en mekanisk växel vill du göra en del med en vanlig sexkantig form. Avståndet mellan de parallella sidorna är 1 cm, som visas i figuren nedan. Sidan på denna hexagon mäter ______ cm.
DE) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Upplösning:
Alternativ B
När det gäller den reguljära hexagonen vet vi att dess apotem är måttet från mitten till mitten av en av sidorna. Således är apotemet halva avståndet som anges i bilden. Så vi måste:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apotem är då lika med \(\frac{1}{2}\). Det finns ett samband mellan sidorna av hexagon och apotem, eftersom i en vanlig hexagon har vi:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Eftersom vi vet värdet av apotem kan vi ersätta \(a=\frac{1}{2}\) i ekvationen:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Rationalisera bråket:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare