Vektor är representationen som bestämmer storleken, riktningen och riktningen för en vektorkvantitet. Vektorer är raka segment orienterade med en pil i ena änden.
Vi namnger vektorerna med en bokstav och en liten pil.
Vektorer karakteriserar vektorstorheter, som är kvantiteter som behöver orientering, det vill säga riktning och riktning. Några exempel är: kraft, hastighet, acceleration och förskjutning. Det numeriska värdet är inte tillräckligt, det är nödvändigt att beskriva var dessa storheter verkar.
modul för en vektor
Vektorns modul, eller intensitet, är dess numeriska värde, följt av måttenheten för den storlek den representerar, till exempel:
Vi anger modulen mellan staplar med pilen eller bara bokstaven utan staplar och utan pil.
Vektorns längd är proportionell mot modulen. En större vektor representerar en större modul.
vektormodulen är 4 enheter, medan vektor
är 2 enheter.
Riktning av en vektor
Vektorns riktning är lutningen på stödlinjen på vilken den bestäms. Det finns bara en riktning för varje vektor.
känsla av en vektor
Vektorns riktning visas av pilen. Samma riktning kan innehålla två riktningar, till exempel upp eller ner och vänster eller höger.
Om en riktning antas som positiv, representeras den motsatta riktningen, negativ, med ett minustecken före vektorsymbolen.
Resulterande vektor
Den resulterande vektorn är resultatet av vektoroperationer och är ekvivalent med en uppsättning vektorer. Det är bekvämt att känna till vektorn som representerar effekten som produceras av mer än en vektor.
Till exempel kan en kropp utsättas för en uppsättning krafter och vi vill veta vilket resultat de kommer att producera, alla tillsammans, på denna kropp. Varje kraft representeras av en vektor, men resultatet kan endast representeras av en vektor: den resulterande vektorn.
Den resulterande vektorn, , av horisontell riktning och riktning åt höger, är resultatet av additioner och subtraktioner av vektorerna.
,
,
och
. Den resulterande vektorn visar en tendens för kroppen att röra sig i denna orientering.
Vektorerna med vertikal riktning har samma storlek, det vill säga samma modul. Eftersom de har motsatt betydelse tar de bort varandra. Detta visar att det inte kommer att ske någon rörelse av lådan i vertikal riktning.
När man analyserar vektorerna och
, som har samma riktning och motsatta riktningar, inser vi att en del av kraften "blir kvar" till höger, som vektorn
är större än
, det vill säga modulen för
det är större.
För att bestämma den resulterande vektorn utför vi vektoradditions- och subtraktionsoperationer.
Addition och subtraktion av vektorer med samma riktning
Med lika sinnen, lägger vi till modulerna och behåller riktningen och riktningen.
Exempel:
Grafiskt placerar vi vektorerna i sekvens, utan att ändra deras moduler. Början av den ena måste sammanfalla med slutet av den andra.
Den kommutativa egenskapen för addition är giltig, eftersom ordningen inte ändrar resultatet.
Med motsatta sinnen, subtraherar vi modulerna och behåller riktningen. Riktningen för den resulterande vektorn är den för vektorn med den största modulen.
Exempel:
vektorn är den överblivna delen av
, efter att ha dragit tillbaka
.
Att subtrahera en vektor motsvarar att addera med motsatsen till den andra.
Addition och subtraktion av vinkelräta vektorer
För att lägga till två vektorer med vinkelräta riktningar flyttar vi vektorerna utan att ändra deras modul, så att början av den ena sammanfaller med slutet av den andra.
Den resulterande vektorn länkar början av den första till slutet av den andra.
För att bestämma storleken på den resulterande vektorn mellan två vinkelräta vektorer matchar vi början av de två vektorerna.
Modulen för den resulterande vektorn bestäms av Pythagoras sats.
Addition och subtraktion av sneda vektorer
Två vektorer är sneda när de bildar en vinkel mellan sina riktningar andra än 0°, 90° och 180°. För att addera eller subtrahera sneda vektorer används parallellogram- och polygonallinjemetoderna.
parallellogrammetod
För att utföra metoden, eller regeln, för parallellogrammet mellan två vektorer och rita den resulterande vektorn, följer vi dessa steg:
Det första steget är att placera deras ursprung i samma punkt och dra linjer parallella med vektorerna för att bilda ett parallellogram.
Den andra är att rita en diagonalvektor på parallellogrammet, mellan föreningen av vektorer och föreningen av parallella linjer.
De prickade linjerna är parallella med vektorerna och den geometriska figuren som bildas är ett parallellogram.
Den resulterande vektorn är den linje som förbinder vektorernas ursprung med parallellerna.
O modul för den resulterande vektorn erhålls av Cosinuslagen.
Var:
R är storleken på den resulterande vektorn;
a är vektormodulen ;
b är vektorns modul ;
är vinkeln som bildas mellan vektorernas riktningar.
Parallellogrammetoden används för att lägga till ett par vektorer. Om du vill lägga till fler än två vektorer måste du lägga till dem två och två. Till vektorn som resulterar från summan av de två första lägger vi till den tredje och så vidare.
Ett annat sätt att lägga till fler än två vektorer är att använda polygonlinjemetoden.
polygonal linjemetod
Metoden med polygonal linje används för att hitta vektorn som är resultatet av att vektorer adderas. Denna metod är särskilt användbar när du lägger till fler än två vektorer, till exempel följande vektorer ,
,
och
.
För att använda denna metod måste vi ordna vektorerna så att slutet av en (pil) sammanfaller med början på en annan. Det är viktigt att bevara modulen, riktningen och riktningen.
Efter att ha ordnat alla vektorer i form av en polygonal linje måste vi spåra den resulterande vektorn som går från början av den första till slutet av den sista.
Det är viktigt att den resulterande vektorn stänger polygonen, med dess pil sammanfallande med pilen i den sista vektorn.
Den kommutativa egenskapen är giltig, eftersom ordningen i vilken vi placerar plot-vektorerna inte ändrar den resulterande vektorn.
vektor sönderdelning
Att dekomponera en vektor är att skriva komponenterna som utgör denna vektor. Dessa komponenter är andra vektorer.
Varje vektor kan skrivas som en sammansättning av andra vektorer, genom en vektorsumma. Med andra ord kan vi skriva en vektor som summan av två vektorer, som vi kallar komponenter.
Med hjälp av ett kartesiskt koordinatsystem, med vinkelräta x- och y-axlar, bestämmer vi vektorns komponenter.
vektorn är resultatet av vektorsumman mellan komponentvektorerna.
och
.
vektorn luta
bildar en rätvinklig triangel med x-axeln. Således bestämmer vi modulerna för komponentvektorerna med hjälp av trigonometri.
Komponentmodul ax.
Komponentmodul ay.
vektormodulen erhålls från Pythagoras sats.
Exempel
En kraft utförs genom att dra ett block från marken. Kraften på 50 N modul lutas 30° från horisontalplanet. Bestäm de horisontella och vertikala komponenterna av denna kraft.
Data:
Multiplikation av ett reellt tal med en vektor
Genom att multiplicera ett reellt tal med en vektor blir resultatet en ny vektor, som har följande egenskaper:
- Samma riktning om det reella talet inte är noll;
- Samma riktning, om det reella talet är positivt, och i motsatt riktning om det är negativt;
- Modulen kommer att vara produkten av modulen för det reella talet och modulen för den multiplicerade vektorn.
Produkt mellan ett reellt tal och en vektor
Var: är vektorn som resulterar från multiplikationen;
är det verkliga talet;
är vektorn som multipliceras.
Exempel
Låt det reella talet n = 3 och vektorn av modulo 2 är produkten mellan dem lika med:
Modulberäkning
Riktningen och riktningen kommer att vara densamma.
Övning 1
(Enem 2011) Friktionskraften är en kraft som beror på kontakten mellan kroppar. Det kan definieras som en motverkande kraft till kroppars förskjutningstendens och genereras på grund av oregelbundenheter mellan två ytor i kontakt. I figuren representerar pilarna krafter som verkar på kroppen och den förstorade punkten representerar de ojämnheter som finns mellan de två ytorna.
I figuren är vektorerna som representerar krafterna som orsakar förskjutning och friktion:
De) 
B) 
ç) 
d) 
och) 
Rätt svar: bokstav a) 
Pilarna representerar vektorerna för krafter som verkar i rörelsen i horisontell riktning, eftersom de är ett aktion-reaktionspar, de har motsatta riktningar.
De vertikala pilarna representerar verkan av Viktkraften och Normalkraften och eftersom de är lika upphäver de varandra, utan rörelse i vertikal riktning.
Övning 2
(UEFS 2011) Vektordiagrammet i figuren visar krafterna som två gummiband utövar på en tand hos en person som genomgår tandreglering.
Om man antar F = 10,0N, sen45° = 0,7 och cos45° = 0,7, är intensiteten av kraften som anbringas av resåren på tanden, i N, lika med
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Rätt svar: c) 2√85
Intensiteten av kraften som appliceras på tanden erhålls av Cosinuslagen.
a och b är lika med 10 N.
Att faktorisera kvadratroten ger oss:
Därför är intensiteten av den resulterande kraft som appliceras av gummibanden på tanden .
Övning 3
(PUC RJ 2016) Krafterna F1, F2, F3 och F4, i figuren, bildar räta vinklar mot varandra och deras moduler är respektive 1 N, 2 N, 3 N och 4 N.
Beräkna modulen för nettokraften, i N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Rätt svar: d) 2√ 2
Vi använder den polygonala linjemetoden för att bestämma den resulterande vektorn. För att göra detta omordnar vi vektorerna så att slutet av den ena sammanfaller med början av den andra, så här:
Med hjälp av ett koordinatsystem med ursprung i början av den resulterande vektorn kan vi bestämma modulerna för dess komponenter, enligt följande:
Därför måste vi:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Storleken på den resulterande vektorn bestäms av Pythagoras sats.
Därför är nettokraftens modul lika med .
lära sig mer om
- Vektorer: addition, subtraktion och nedbrytning.
- Vektor kvantiteter
✖
