Ett polynomekvation kännetecknas av att ha en polynom lika med noll. Det kan karakteriseras av graden av polynomet, och ju större denna grad är, desto större svårighetsgrad att hitta sin lösning eller rot.
Det är också viktigt, i detta sammanhang, att förstå vad algebras grundläggande sats är, som säger att varje polynomekvation har minst en komplex lösning, med andra ord: en ekvation av grad ett kommer att ha minst en lösning, en ekvation av grad två kommer att ha minst två lösningar, och så vidare.
Läs också: Vilka är klasserna av polynom?
Vad är en polynomekvation
En polynomekvation kännetecknas av att ha ett polynom lika med noll, alltså, varje uttryck av typen P(x) = 0 är en polynomekvation, där P(x) är ett polynom. Nedan är det allmänna fallet med en polynomekvation och några exempel.
ÖvervägaNej, an -1, a n -2, …, Den1, a0 och x riktiga nummeroch n är ett positivt heltal, är följande uttryck en polynomekvation av grad n.
- Exempel
Följande ekvationer är polynom.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Liksom polynom har polynomekvationer sin grad. För att bestämma graden av en polynomekvation, hitta bara den högsta potensen vars koefficient skiljer sig från noll. Därför är ekvationerna för de föregående posterna, respektive:
a) Ekvationen är från fjärde graden:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Ekvationen är från gymnasium:5x2 – 3 = 0.
c) Ekvationen är från första graden:6x – 1 = 0.
d) Ekvationen är av tredje graden: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Hur löser man en polynomekvation?
Metoden för att lösa en polynomekvation beror på dess grad. Ju högre grad en ekvation har, desto svårare är det att lösa den. I den här artikeln kommer vi att visa lösningsmetoden för polynomekvationer av första graden, andra graden och bisquare.
Polynomekvationen för första graden
En polynomekvation av första graden beskrivs av a grad 1 polynom. Så vi kan skriva en ekvation av första graden, i allmänhet, enligt följande.
Tänk på två reella tal De och B med en ≠ 0 är följande uttryck en polynomekvation av första graden:
ax + b = 0
För att lösa denna ekvation måste vi använda likvärdighetsprincipen, det vill säga allt som drivs på ena sidan av jämlikheten måste också drivas på andra sidan. För att bestämma lösningen av en ekvation av första graden måste vi isolera det okända. För detta är det första steget att eliminera B på vänster sida av jämställdheten, och sedan subtraheraåror b på båda sidor om jämställdheten.
yxa + b - B = 0 - B
yxa = - b
Observera att värdet på det okända x inte är isolerat, koefficienten a måste elimineras från den vänstra sidan av likheten, och för det, låt oss dividera båda sidorna med De.
- Exempel
Lös ekvationen 5x + 25 = 0.
För att lösa problemet måste vi använda likvärdighetsprincipen. För att underlätta processen kommer vi att utelämna skrivningen av operationen på vänster sida av jämlikheten, eftersom motsvarande att säga att vi kommer att "passera" numret till andra sidan, ändra tecknet (omvänd operation).
Lär dig mer om att lösa den här typen av ekvationer genom att gå till vår text: Första gradens ekvation med en okänd.
Andra gradens polynomekvation
En polynomekvation av andra graden har egenskapen a grad två polynom. Så betrakta a, b och c reella tal med a ≠ 0. En andragradsekvation ges av:
yxa2 + bx + c = 0
Din lösning kan bestämmas med metoden för bhaskara eller genom factoring. Om du vill veta mer om ekvationer av denna typ, läs: Ekvåtgärd av sandra grau.
→ Bhaskara metod
Med Bhaskaras metod ges dess rötter av följande formel:
- Exempel
Hitta lösningen till ekvationen x2 – 3x + 2 = 0.
Observera att ekvationens koefficienter är a = 1, b = – 3 respektive c = 2. Genom att ersätta dessa värden i formeln måste vi:
→ Faktorisering
Se att det är möjligt att faktorisera uttrycket x2 – 3x + 2 = 0 med idén om polynomfaktorisering.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Lägg märke till att vi har en produkt lika med noll, och en produkt är lika med noll bara om en av faktorerna är lika med noll, så vi måste:
x – 2 = 0
x = 2
eller
x - 1 = 0
x = 1
Se att vi hittade lösningen på ekvationen med två olika metoder.
bi-kvadratisk ekvation
DE biskvadrat ekvation det är en speciellt fall av en polynomekvation av fjärde graden, normalt skulle en fjärdegradsekvation skrivas i formen:
yxa4 + bx3 + låda2 + dx + e = 0
där siffrorna a B C D och och är verkliga med en ≠ 0. En fjärdegradsekvation anses vara bisquar när koefficienterna b = d = 0, det vill säga ekvationen har formen:
yxa4 + låda2 + och = 0
Se, i exemplet nedan, hur du löser denna ekvation.
- Exempel
Lös x-ekvationen4 – 10x2 + 9 = 0.
För att lösa ekvationen kommer vi att använda följande okända förändring, och närhelst ekvationen är bisquar, kommer vi att göra den förändringen.
x2 =p
Lägg märke till att x från bi-kvadrat-ekvationen4 = (x2)2 och därför måste vi:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
för2 – 10p + 9 = 0
Se att vi nu har en polynomekvation av andra graden och vi kan använda Bhaskaras metod, så här:
Vi måste dock komma ihåg att i början av övningen gjordes en okänd ändring, så vi måste tillämpa värdet som finns i utbytet.
x2 =p
För p = 9 har vi det:
x2 = 9
x' = 3
eller
x’’ = – 3
För p = 1
x2 = 1
x' = 1
eller
x’’ = – 1
Därför är lösningsmängden för biskvadratsekvationen:
S = {3, –3, 1, –1}
Läs också: Briot-Ruffinis praktiska anordning – uppdelning av polynom
Algebras grundläggande teorem (TFA)
Grundsatsen för algebra (TFA), bevisad av Gauss 1799, säger att varje polynomekvation enligt följande har minst en komplex rot.
Roten till en polynomekvation är dess lösning, det vill säga det okända värdet är det som gör likheten sann. Till exempel har en förstagradsekvation en rot som redan är bestämd, liksom en andragradsekvation, som har minst två rötter, och en bisquare, som har minst fyra rötter.
lösta övningar
fråga 1 – Bestäm värdet på x som gör likheten sann.
2x – 8 = 3x + 7
Upplösning
Observera att för att lösa ekvationen är det nödvändigt att organisera den, det vill säga lämna alla okända på vänster sida av likheten.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Med ekvivalensprincipen kan vi multiplicera båda sidor av likheten med samma tal, och eftersom vi vill hitta värdet på x, multiplicerar vi båda sidorna med –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
fråga 2 – Marcos har 20 R$ mer än João. Tillsammans lyckas de köpa två par sneakers, som kostar R$80 varje par och utan pengar kvar. Hur många reais har John?
Upplösning
Antag att Markus har x reais, eftersom John har 20 reais mer, så har han x + 20.
Betyg → x reals
João → (x + 20) reais
hur köpte de två par sneakers som kostar 80 reais styck, så om vi sätter ihop delarna av var och en måste vi:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Därför hade Mark 70 reais och João 90 reais.
av Robson Luiz
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
