Newtons binomial är varje binomial höjd till ett nummer Nej på vad Nej det är ett naturligt tal. Tack vare fysikens studier Isaac Newton om binomialernas krafter var det möjligt kontrollera regelbundenheter som underlättar framställningen av polynomet genereras från kraften i en binomial.
Genom att följa dessa regelbundenheter blev det också möjligt hitta bara en av villkoren i polynomutan att behöva beräkna allt med hjälp av formeln för den allmänna termen för en binomial. Dessutom märkte Newton ett förhållande mellan kombinatorisk analysa och Newtons binomaler, vad som gjorde Pascals triangel ett utmärkt verktyg för en mer praktisk utveckling av en Newton binomial.
Läs också: Briot-Ruffini-enhet - metod för att dela polynomer
Definition av Newtons binomial
Vi definierar som binomialpolynom som har två termer. I vissa tillämpningar inom matematik och fysik är det nödvändigt att beräkna en binomiers kraft. För att underlätta processen, Isaac Newton märkte viktiga regelbundenheter som gör att vi kan hitta polynom som är resultatet av en binomial.
I vissa fall är beräkningen ganska enkel: gör bara multiplicering av binomialet med sig själv med hjälp av den fördelande egenskapen. Upp till en styrka av ordning 3 utvecklas vi utan mycket ansträngning, eftersom de är de välkända anmärkningsvärda produkter, men för högre makter, beräkna från multiplikationen av termen i sig själv Nej ibland är det mycket arbete.
Exempel
Kom ihåg att varje siffra som höjs till noll är lika med 1 och att varje siffra som höjs till 1 är sig själv, vilket också gäller för binomialerna.
Newton märkte en förhållandet mellan koefficienterna för var och en av termerna och kombinationen, vilket möjliggjorde beräkning av en binomials effekt mer direkt från följande formel:
Förstå formeln:
Låt oss först titta på den bokstavliga delen av varje term, som är bokstaven med dess exponent. Observera att exponenten för “a ”minskade, började vid n, gick sedan till n - 1 och så vidare tills det var 1 på näst sista termen och 0 under sista termen (vilket gör att bokstaven" a "inte ens visas under den sista termen).
identifierande De och dess exponenter:
Låt oss nu analysera exponenterna för "b", som alltid ökar och börjar med 0 under den första termen ( vilket gör att bokstaven b inte visas i den första termen), 1 i den andra termen och så vidare tills den är lika De Nejunder den sista terminen.
identifierande B och dess exponenter:
Förstå den bokstavliga delen, låt oss analysera koefficienterna, som alla är kombinationer av Nej element som tas från 0 till 0, 1 till 1, 2 till 2, och så vidare till sista termen, vilket är kombinationen av Nej element tagna från Nej i Nej.
Det är anmärkningsvärt att det är viktigt att behärska beräkningen av kombinationer för att kunna hitta koefficienterna. Kom ihåg att för att beräkna kombinationer måste vi:
Kombinationssvaret är alltid a naturligt nummer.
Se också: Polynomdelning: hur man löser det?
Exempel: Beräkna Newtons binomial (a + b) till den fjärde effekten.
Första steget: skriv polynom med formeln.
2: a steget: beräkna kombinationerna.
Genom att ersätta kombinationerna blir polynom som hittas:
Du kan se att det är svårt att lösa fall som detta, beroende på exponenten, men ändå är det snabbare än att beräkna med hjälp av den distribuerande egenskapen. Ett verktyg som kan hjälpa till med denna beräkning är Pascals triangel.
Pascals triangel
Pascal-triangeln utvecklades av Blaise Pascal under studien av kombinationer. Han är ett sätt som gör beräkning av kombinationer enklare. Med hjälp av Pascal-triangeln blir det snabbare och lättare att hitta koefficienterna för de bokstavliga delarna i en Newton binomial utan att behöva beräkna alla kombinationer.
För att konstruera Pascals triangel direkt, låt oss komma ihåg två situationer där kombinationsberäkningen är lika med 1.
Således är den första och sista termen av alla rader alltid lika med 1. De centrala termerna är byggda från summan av termen ovanför den plus dess granne från föregående kolumn, som i representationen nedan:
För att bygga nästa rader, kom bara ihåg att den första terminen är 1 och den sista också. Då räcker det att göra summan för att upptäcka de centrala termerna.
Också tillgång: Sats för polynomnedbrytning
Exempel: Beräkna (a + b) till den sjätte effekten.
Första steget: tillämpa formeln för binomialet.
2: a steget: bygg Pascals triangel upp till sjätte raden.
3: e steget: ersätt kombinationerna med värdena i rad 6, som är koefficienterna för var och en av termerna i binomialet.
Vad som avgör antalet rader vi ska bygga från binomialet är värdet på n. Det är viktigt att komma ihåg att den första raden är noll.
Newtons binomiala allmänna term
Newtons allmänna term binomial är en formel som låter oss beräkna en term av binomialen utan att behöva utveckla hela polynom, det vill säga vi kan identifiera något av termerna från första till sista. Med formeln beräknar vi direkt termen vi letar efter.
De: första terminen
B: andra terminen
n: exponent
p + 1: sökterm
Exempel: Hitta den 11: e termen i binomialet (a + b)12.
Upplösning:
Se också: Demonstrationer genom av algebraisk kalkyl
Övningar lösta
Fråga 1 - (Cesgranrio) Koefficienten för x4 i polynomet P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Upplösning
Vi vill hitta en specifik term för att lösa binomialet; för det måste vi hitta värdet av p.
Vi vet att den första termen i detta fall är lika med x, så n - p = 4, som n = 6, har vi:
Därför är koefficienten 60 (alternativ B).
Fråga 2 - (Unifor) Om den centrala termen för binomiell utveckling (4x + ky)10 för 8064x5y5, då är alternativet som motsvarar värdet på k:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Upplösning: Vi vet att den centrala termen har lika koefficienter (p = 5). Låt oss hitta den sjätte termen, eftersom p + 1 = 6. Dessutom har vi att a = 4x; b = ky och n = 10, så:
Alternativ D.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
