Föreställ dig att leka med kulor för att bilda trianglar. Du kan först tänka på att en boll är som en liten triangel:
•
Sedan placerar du två kulor under dem och bildar de tre hörnen av a triangel:
•
• •
Om du placerar ytterligare tre bollar under dessa kommer det att bilda ytterligare en triangel:
•
• •
• • •
Vid varje steg av att lägga till bollar i förhållande till mängden tidigare placerade, kommer det alltid att bildas trianglar. Se triangeln som bildas genom att lägga till ytterligare fyra bollar:
•
• •
• • •
• • • •
Det totala antalet bollar i varje steg kännetecknar en klass av nummer som kallas triangulära tal. Matematikern Karl Friedrich Gauss upptäckte en formel för att ange den totala mängden i varje triangel, där s1motsvarade den första triangeln, s2, till den andra triangeln och så vidare. Summorna som beskrivits av Gauss började med a och, vid varje steg lades ett nummer till som motsvarade en enhet över det senast tillagda numret:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Resultaten av dessa summor var de triangulära talen: 1, 3, 6, 10, 15... Observera att det finns ett mönster i var och en av dessa summor. När vi tittar noga kan vi se att var och en av dem är en aritmetisk progression av anledning 1. Så här är gauss summa, som fastställer att, i en konstant kvotsumma, om vi adderar det första elementet till det sista, får vi samma resultat som att lägga till det andra elementet till det näst sista. Låt oss se hur Gauss summaprocessen för summor uppstår. s6 och s7:
Gauss summaprocess tillämpas på summan av triangulära tal
Sluta inte nu... Det kommer mer efter reklam ;)
om stopp s6 och s7 vi har summorna från bilden ovan, låt oss återskapa denna summa för s8, S9, S10 och s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Vi kan generalisera för att få en summa för sNej:
sNej = n. (n+1), om n är jämnt
2
sNej = (n - 1).(n+1)+ (n - 1) + 1, om n är udda
2 2
precis som i nummermagi, kan vi visa ett annat intressant faktum om triangulära tal: summan av efterföljande triangulära tal resulterar alltid i tal som kan klassificeras som perfekta kvadrater, det vill säga tal som har rot fyrkant. Låt oss se:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
De erhållna resultaten, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 och 121, är alla perfekta kvadrater.
Av Amanda Gonçalves
Tog examen i matematik
Vill du referera till den här texten i ett skol- eller akademiskt arbete? Se:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Triangulära siffror"; Brasilien skola. Tillgänglig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Åtkom den 27 juli 2021.
