O Pascals triangel det är ett ganska gammalt matematiskt verktyg. Genom historien har den fått flera namn, men de mest adopterade idag är aritmetisk triangel och Pascals triangel. Det andra namnet är en hyllning till matematikern som gjorde flera bidrag till studiet av denna triangel. betyder att triangeln uppfanns av honom, men det var han som gjorde en djupare studie av detta verktyg.
Från egenskaperna hos Pascal-triangeln är det möjligt att konstruera den logiskt. Även sticker ut din relation med kombinationer studeras i kombinatorisk analys. Termerna i Pascal-triangeln motsvarar också binomialkoefficienter och därför är den mycket användbar för att beräkna alla Newton-binomialer.
Läs också: Briot-Ruffini-enhet - metod för att dividera polynom
Konstruktion av Pascals triangel
Pascals triangel produceras från resultatet av kombinationerna, men det finns en praktisk metod som underlättar sättet att bygga den. Den första raden och den första kolumnen räknas som rad noll och kolumn noll. Vi kan använda så många linjer som behövs
i denna konstruktion kan därför triangeln ha oändliga linjer. Resonemanget för utarbetandet av raderna är alltid detsamma. Se:
Vi vet det triangeltermer är kombinationer, studerade i kombinatorisk analys. För att ersätta Pascals triangel med numeriska värden vet vi att kombinationerna av ett tal med noll och ett tal med sig själv alltid är lika med 1. Därför är det första och sista värdet alltid 1.
För att hitta de andra börjar vi med rad 2, eftersom rad 0 och rad 1 redan är klara. På rad 2, för att hitta kombinationen av 2 till 1, på raden ovan, det vill säga på rad 1, låt oss lägga till termen ovanför den i samma kolumn och termen ovanför den i föregående kolumn, som visas i bilden :
Efter att ha byggt linje 2 är det möjligt att bygga linje 3 genom att utföra samma procedur.
Om vi fortsätter med denna procedur hittar vi alla termer – i det här fallet upp till rad 5 – men det är möjligt att bygga så många linjer som behövs.
Egenskaper hos Pascals triangel
Det finns några egenskaper hos Pascals triangel, på grund av regelbundenhet i dess konstruktion. Dessa egenskaper är användbara för att arbeta med kombinationer, själva konstruktionen av triangellinjer och summan av linjer, kolumner och diagonaler.
1:a fastigheten
Den första fastigheten var den vi använde för att bygga triangeln. Så till hitta en term i Pascals triangel, lägg bara till termen som finns i raden ovanför den och samma kolumn med termen som finns i kolumnen och raden före den. Denna egenskap kan representeras enligt följande:
Denna egenskap är känd som Stifels förhållande och det är viktigt att underlätta konstruktionen av triangeln och hitta värdena för var och en av linjerna.
2:a fastigheten
Summan av alla termer i en rad beräknas av:
sNej=2Nej, på vad Nej är linjenumret.
Exempel:
Med denna fastighet är det möjligt att veta summan av alla termer på en rad utan att nödvändigtvis behöva konstruera Pascals triangel. Summan av rad 10 kan till exempel beräknas med 210 = 1024. Även om inte alla termer är kända, är det redan möjligt att veta summan av hela raden.
3:e fastigheten
Summan av termer som följer från början av en given kolumn för upp till en viss linje Nej är samma som termen på linjen n+1 rygg och kolumn p+1 senare, som visas nedan:
4:e fastigheten
Summan av en diagonal som börjar i kolumn 0 och går till termen i kolumn p och rad n är lika med termen i samma kolumn (p), men i raden nedan (n+1), som visas på bilden :
5:e fastigheten
Det finns symmetri i linjerna i Pascals triangel. Första och andra termen är lika, andra och näst sista termen är lika, och så vidare.
Exempel:
Rad 6: 1615 20 156 1.
Observera att termerna är lika med två till två, förutom den centrala termen.
Se också: Polynomindelning: hur löser man det?
Newtons binomial
Vi definierar Newtons binomial a kraften hos en polynom som har två termer. Beräkningen av ett binomial är relaterat till Pascaltriangeln, som blir en mekanism för att beräkna vad vi kallar binomialkoefficienter. För att beräkna ett binomial använder vi följande formel:
Observera att exponentvärdet för De den minskar tills den i sista termen är lika med De0. Vi vet att varje tal som höjs till 0 är lika med 1, därav termen De dyker inte upp under den senaste terminen. Observera också att exponenten för B börjar med B0, snart B visas inte under den första termen och ökar tills den når BNej, under den senaste mandatperioden.
Dessutom är siffran som åtföljer var och en av termerna vad vi kallar en koefficient – i detta fall känd som en binomial koefficient. För att bättre förstå hur man löser denna typ av binomial, gå till vår text: Newtons binomial.
binomial koefficient
Binomialkoefficienten är inget annat än kombinationen, som kan beräknas med formeln:
Men för att underlätta beräkningen av Newtons binomial är det viktigt att använda Pascal-triangeln, eftersom den ger oss resultatet av kombinationen snabbare.
Exempel:
För att hitta resultatet av binomialkoefficienten, låt oss hitta värdena på rad 5 i Pascals triangel, som är {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1 år5
Enkelt uttryckt:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
lösta övningar
Fråga 1 - Värdet på uttrycket nedan är?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Upplösning
Alternativ A.
Omgruppera de positiva och negativa värdena måste vi:
Observera att vi faktiskt beräknar subtraktionen mellan linje 4 och linje 3 i Pascals triangel. Av egendom vet vi att:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Fråga 2 - Vad är värdet av uttrycket nedan?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Upplösning
Alternativ B.
Observera att vi lägger till termerna från kolumn 1 i Pascals triangel till rad 7, sedan till den 3:e egenskap, är värdet på denna summa lika med termen som upptar rad 7+1 och kolumn 1+1, det vill säga rad 8, kolumn 2. Eftersom vi bara vill ha ett värde är det inte bekvämt att konstruera hela Pascal-triangeln.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
