Matriser: Kommenterade och lösta övningar

Matris är en tabell formad av reella tal, ordnade i rader och kolumner. Siffrorna som visas i matrisen kallas element.

Utnyttja de lösta och kommenterade antagningsfrågorna för att rensa alla dina tvivel angående detta innehåll.

Frågor om inträdesprov löst

1) Unicamp - 2018

Låt a och b vara reella tal så att matrisen A = öppna parenteser bordsrad med 1 2 rad med 0 1 slutet av tabellen parenteser uppfyller ekvation A.²= aA + bI, där I är identitetsmatrisen för ordning 2. Så produkten ab är lika med

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Se Svar

För att ta reda på värdet av produkten a.b måste vi först veta värdet på a och b. Så låt oss överväga den ekvation som ges i problemet.

För att lösa ekvationen, låt oss beräkna värdet på A.², vilket görs genom att multiplicera matris A med sig själv, det vill säga:

En kvadrat lika med öppna rader inom hakparenteser med 1 2 rader med 0 1 ände av tabellen stänger hakparenteser. öppna parenteser bordsrad med 1 2 rad med 0 1 slutet av tabellen parenteser

Denna operation görs genom att multiplicera raderna i den första matrisen med kolumnerna i den andra matrisen, som visas nedan:

På detta sätt matrisen A² det är samma som:

En kvadrat är lika med öppna fyrkantiga parenteser tabellrad med 1 4 rad med 0 1 slutet av tabellen nära hakparenteser

Med tanke på det värde som vi just hittat och kommer ihåg att i identitetsmatrisen är elementen i huvuddiagonalen lika med 1 och de andra elementen är lika med 0, kommer ekvationen att vara:

instagram story viewer

öppna parenteser bordsrad med 1 4 rad med 0 1 bordsändar parenteser lika med a. öppna parenteser bordsrad med 1 2 radar med 0 1 bordsändar nära parenteser mer b. öppna parenteser bordsrad med 1 0 radar med 0 1 tabelländen

Vi måste nu multiplicera matrisen A med siffran a och identitetsmatrisen med talet b.

Kom ihåg att för att multiplicera ett tal med en matris multiplicerar vi numret med varje element i matrisen.

Således kommer vår jämlikhet att vara lika med:

öppna parenteser tabellrad med 1 4 rad med 0 1 tabelländen nära parenteser lika med öppna parenteser tabellrad med cell med 2 till slutet av cellrad med 0 slutet av tabellen stänga hakparenteser mer öppna hakparenteser tabellrad med b 0 rad med 0 b slutet av tabellen stänga fästen

När vi lägger till de två matriserna har vi:

öppna parenteser bordsrad med 1 4 radar med 0 1 tabelländen nära parenteser lika med öppna parenteser tabellrad med cell med en plusb-ände av cellcell med 2-änden av cellrad med 0-cell med en plusb-ände av celländen på tabellen fästen

Två matriser är lika när alla motsvarande element är lika. På detta sätt kan vi skriva följande system:

öppna nycklar tabellattribut kolumninriktning vänstra ändattribut rad med cell med ett plus b lika med 1 ände av cellrad med cell med 2 a lika med 4 slutet av celländen på tabellen stänga

Isolera a i den andra ekvationen:

2 till 4 dubbel högerpil lika med 4 över 2 dubbel högerpil lika med 2

Genom att ersätta värdet som hittades för a i den första ekvationen, hittar vi värdet på b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Således kommer produkten att ges av:

De. b = - 1. 2
De. b = - 2

Alternativ: a) −2.

2) Unesp - 2016

En punkt P, med koordinater (x, y) för det ortogonala kartesiska planet, representeras av kolumnmatrisen. öppna parenteser bordsrad med x rad med y slutet av tabellen parenteser , liksom kolumnmatrisen representerar, i det ortogonala kartesiska planet, punkten P för koordinaterna (x, y). Således är resultatet av matrixmultiplikation öppna kvadratiska parenteser tabellrad med 0 cell med minus 1 ände av cellrad med 1 0 slutet av tabell stänger kvadratiska parenteser. öppna parenteser bordsrad med x rad med y slutet av tabellen parenteser är en kolumnmatris som i det ortogonala kartesiska planet nödvändigtvis representerar en punkt som är

a) 180 ° rotation av P medurs och med centrum vid (0, 0).
b) en rotation av P till 90 ° moturs, med centrum vid (0, 0).
c) symmetrisk för P med avseende på den horisontella x-axeln.
d) symmetrisk för P med avseende på den vertikala y-axeln.
e) en rotation av P till 90 ° medurs och med centrum vid (0, 0).

Se Svar

Punkt P representeras av en matris, så att abscissan (x) indikeras av elementet a.₁₁ och ordinaten (y) efter element a₂₁av matrisen.

För att hitta den nya positionen för punkt P måste vi lösa multiplikationen av de presenterade matriserna och resultatet blir:

Resultatet representerar den nya koordinaten för punkt P, det vill säga abscissan är lika med -y och ordinaten är lika med x.

För att identifiera omvandlingen genom positionen för punkt P, låt oss representera situationen i det kartesiska planet, som anges nedan:

Därför flyttade punkt P, som först befann sig i första kvadranten (positiv abscissa och ordinat), till den andra kvadranten (negativ abscissa och positiv ordinat).

När du flyttade till den här nya positionen roterades punkten moturs, vilket visas i bilden ovan med den röda pilen.

Vi behöver fortfarande identifiera vad rotationsvinkelvärdet var.

Genom att ansluta den ursprungliga positionen för punkt P till mitten av den kartesiska axeln och göra detsamma i förhållande till dess nya position P 'har vi följande situation:

Observera att de två trianglarna som anges i figuren är kongruenta, det vill säga de har samma mått. På detta sätt är deras vinklar också desamma.

Dessutom är vinklarna α och complement komplementära eftersom summan av trianglarnas inre vinklar är lika med 180 ° och eftersom triangeln är rätvinklig kommer summan av dessa två vinklar att vara lika med 90 °.

Således kan punktens rotationsvinkel, indikerad i figuren med β, bara vara lika med 90 °.

Alternativ: b) 90 ° rotation av P moturs, med centrum vid (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Eftersom a är ett reellt tal, överväg matrisen A = öppna parenteser tabellrad med 1 rad med 0-cell med minus 1 ände av celländen på tabellen nära parenteser . Så den²⁰¹⁷ det är samma som
De)
B)
ç)
d)

Se Svar

Låt oss först försöka hitta ett mönster för krafterna, eftersom det är mycket arbete att multiplicera matris A för sig 2017 gånger.

Kom ihåg att i matrixmultiplikation hittas varje element genom att lägga till resultaten för att multiplicera elementen i raden med en med elementen i den andra kolumnen.

Låt oss börja med att beräkna A²:

öppna parenteser tabellrad med 1 rad med 0 cell med minus 1 ände på celländen på tabellen stänger parentesutrymme. blanksteg öppna parenteser tabellrad med 1 rad med 0-cell med minus 1 ände av celländen på tabellen stäng parenteser lika med öppna parenteser tabellrad med cell med 1.1 plus a. 0 ände av cellcell med utrymme utrymme 1. mest a. vänster parentes minus 1 höger parentes slutet av cellrad till cell med 0,1 plus 0. vänster parentes minus 1 höger parentes celländcell med 0. plus vänster parentes minus 1 höger parentes. vänster parentes minus 1 höger parentes slutet av celländen i tabellen stänger parenteser lika med öppna parenteser tabellrad med 1 0 rad med 0 1 slutet av tabellen parenteser

Resultatet var identitetsmatrisen, och när vi multiplicerar vilken matris som helst med identitetsmatrisen blir resultatet själva matrisen.

Därför är värdet på A³ kommer att vara lika med själva matrisen A, eftersom A³ = A². DE.

Detta resultat kommer att upprepas, det vill säga när exponenten är jämn, är resultatet identitetsmatrisen och när det är udda blir det själva matrisen A.

Eftersom 2017 är udda kommer resultatet att bli lika med matris A.

Alternativ: b) öppna parenteser tabellrad med 1 rad med 0-cell med minus 1 ände av celländen på tabellen nära parenteser

4) UFSM - 2011

Det givna diagrammet representerar den förenklade livsmedelskedjan för ett visst ekosystem. Pilar indikerar arten som den andra arten lever på. Att tilldela ett värde på 1 när en art matar på en annan och noll, när det motsatta inträffar, har vi följande tabell:

Matrisen A = (a_{I j})_4x4, associerad med tabellen, har följande utbildningslag:

höger parentes ett mellanslag med i j prenumeration slutet av prenumerationen lika med öppna nycklar tabellattribut kolumninriktning vänster ände attributrad med cell med 0 komma s utrymme och i utrymme mindre än eller lika med j slutet av cellrad med cell med 1 komma s mellanslag och jag utrymme större än j slutet av celländen på tabellen stänger b höger parentes utrymme a med i j prenumeration slutet av prenumerationen lika med öppna nycklar tabellattribut kolumninriktning vänstra änden av attributraden med cell med 0 kommatecken och i mellanslag lika med j slutet av cellrad med cell med 1 kommatecken s och i mellanslag inte lika j slutet av celländen på tabellen stängs c höger parentes mellanslag a med i j prenumeration slutet av abonnemanget lika a öppnar nyckeltabellen attribut kolumninriktning vänstra ändattributrad med cell med 0 kommatecken och i utrymme större än eller lika med j slutet av cellrad med cell med 1 kommatecken s och mellanslag i mindre än j slutet av celländen på tabellen stäng d höger parentesutrymme a med i j prenumerationsänden på prenumerationen lika med öppna nyckelattribut för tabellkolumninriktning vänster ände av attributraden med cell med 0 komma s-utrymme och i mellanslag inte lika j slutet av cellrad med cell med 1 komma-utrymme och i mellanslag lika med j slutet av celländen på tabellen stängs och höger parentes ett mellanslag med i j prenumeration slutet av prenumerationen är lika med öppna tangenter tabellattribut kolumninriktning vänster ände av attributraden med cell med 0 komma s-utrymme och i mellanslag mindre än j slutet av cellrad med cell med 1 komma s-utrymme och i mellanslag större än j slutet av celländen av bordet stängs

Se Svar

Eftersom radnumret indikeras av i och kolumnnumret indikeras av j, och när vi tittar på tabellen märker vi att när i är lika med j, eller i är större än j, är resultatet noll.

Positionerna i 1 är de där kolumnnumret är större än linjenumret.

Alternativ: c) a med i j prenumerationsänden av prenumerationen lika med öppna nycklar tabellattribut kolumninriktning vänster ände av attributraden med cell med 0 komma utrymme och i utrymme större än eller lika med j slutet av cellrad med cell med 1 komma utrymme och jag utrymme mindre än j slutet av cell slutet av tabellen stänger

5) Unesp - 2014

Tänk på matrisekvationen A + BX = X + 2C, vars okända är matrisen X och alla matriser är kvadratiska av ordningen n. Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för att denna ekvation ska ha en enda lösning är att:

a) B - I ≠ O, där I är ordningens n identitetsmatris och O är ordningens nollmatris.
b) B är inverterbar.
c) B ≠ O, där O är nollmatrisen i ordning n.
d) B - I är inverterbar, där I är identitetsmatrisen för ordning n.
e) A och C är inverterbara.

Se Svar

För att lösa matrisekvationen måste vi isolera X på ena sidan av likhetstecknet. För att göra detta, låt oss först subtrahera matrisen A på båda sidor.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Låt oss nu subtrahera X, även på båda sidor. I detta fall kommer ekvationen att vara:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Eftersom jag är identitetsmatrisen blir resultatet matrisen i sig när vi multiplicerar en matris med identiteten.

Så, för att isolera X måste vi nu multiplicera båda sidor av likhetstecknet med den inversa matrisen av (B-I), det vill säga:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Att komma ihåg att när en matris är inverterbar är produkten av matrisen med det inversa lika med identitetsmatrisen.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Således kommer ekvationen att ha en lösning när B - I är inverterbar.

Alternativ: d) B - I är inverterbar, där I är identitetsmatrisen för ordning n.

6) Enem - 2012

En student registrerade två månaders betyg i några av sina ämnen i en tabell. Han noterade att de numeriska posterna i tabellen bildade en 4x4-matris och att han kunde beräkna årliga medelvärden för dessa discipliner med hjälp av matrisen. Alla tester hade samma vikt och tabellen han fick visas nedan

För att uppnå dessa medelvärden multiplicerade han matrisen från tabellen med

höger parentes utrymme öppna hakparenteser tabellrad med cell med 1 halva änden av cellcellen med 1 halva änden av cellcellen med 1 halva änden av cellcellen med 1 halva änden av celländen på bordet stänger hakparenteser b höger parentes utrymme öppna hakparenteser tabellrad med 1 fjärde celländen av cell 1 fjärde celländen av cellcellen med 1 fjärde änden av cellcell med 1 fjärde änden av celländen på tabellen stänga parenteser c höger parentes utrymme öppna parenteser tabell 1 rad 1 rad 1 rad 1 rad med 1 ände av tabellen stänga parenteser d högra parenteser utrymme öppna parenteser tabellrad med cell med 1 halva änden av cellrad med cell med 1 halva änden av cellrad med cell med 1 halva änden av cellrad med cell med 1 halva änden av celländen på tabellen stänga hakparenteser och höger parentes utrymme öppna fyrkanter parentes tabellrad med cell med 1 fjärde änden av cellrad med cell med 1/4 ände av cellrad med cell med 1/4 ände av cellrad med cell med 1/4 ände av celländen på bordet stäng fästen

Se Svar

Det aritmetiska medelvärdet beräknas genom att addera alla värden och dividera med antalet värden.

Således måste eleven lägga betyg på de 4 bimestrarna och dela resultatet med 4 eller multiplicera varje betyg med 1/4 och lägga till alla resultat.

Med hjälp av matriser kan vi uppnå samma resultat genom att göra matrismultiplikation.

Vi måste dock komma ihåg att det bara är möjligt att multiplicera två matriser när antalet kolumner i en är lika med antalet rader i den andra.

Eftersom matrisen med anteckningar har fyra kolumner måste matrisen som vi ska multiplicera ha fyra rader. Således måste vi multiplicera med kolumnmatrisen:

öppna hakparenteser tabellrad med cell 1 fjärde änden av cellrad med cell 1 fjärde änden av cellen rad med cell med 1/4 ände av cellrad med cell med 1/4 ände av celländen på bordet stäng fästen

Alternativ: och

7) Fuvest - 2012

Tänk på matrisen A lika med öppna kvadratiska parenteser tabellrad med cell med 2 plus 1 ände av cellrad med cell med minus 1 ände av cellcell med plus 1 ände av celländen på tabell nära parenteser , på vad De är ett verkligt tal. Att veta att A medger invers A^-1 vars första kolumn är öppna hakparenteser tabellrad med cell med minus 2 ände av cellrad med cell med minus 1 ände av celländen av tabell stänga hakparenteser , summan av elementen i huvuddiagonalen för A.^-1 det är samma som