När vi studerar uppsättningen rationella tal hittar vi några fraktioner som, när de omvandlas till decimaltal, blir periodiska decimaler. För att utföra denna omvandling måste vi dela täljaren av fraktionen med dess nämnare, som i fallet med fraktionen 
. På samma sätt kan vi genom en periodisk decimal hitta den fraktion som gav upphov till den. Denna fraktion kallas ”generera fraktion”.
I varje periodiskt decimal kallas numret som upprepas tidsförlopp. I det givna exemplet har vi en enkel periodisk decimal, och perioden är antalet 6. Genom en enkel ekvation kan vi hitta den genererande fraktionen av 0,6666…
Först kan vi säga att:
x = 0,666...
Därifrån kontrollerar vi hur många siffror perioden har. I det här fallet har perioden en siffra. Så låt oss multiplicera båda sidor av ekvationen med 10, om perioden hade två siffror, skulle vi multiplicera med 100, i fallet med 3 siffror, med 1000 och så vidare. Så vi kommer att ha:
10x = 6,666...
I den andra delen av ekvationen kan vi bryta talet 6666... i ett heltal och en annan decimal enligt följande:
10 x = 6 + 0,666...
Men redan i början uttalade vi det x = 0,666... så att vi kan ersätta decimaldelen av ekvationen med x och vi har kvar med:
10 x = 6 + x
Med de grundläggande egenskaperna för ekvationer kan vi sedan ändra variabeln x från den andra till den första sidan av ekvationen:
10 x - x = 6
Att lösa ekvationen har vi:
9 x = 6
x = 6
9
Förenkling av bråk med 3 har vi:
x = 2
3
Snart, 
, dvs 
är den genererande fraktionen av det periodiska decimaltalet 0.6666... .
Låt oss se när vi har en sammansatt periodisk decimal, som i fallet med 0,03131… Vi börjar på samma sätt:
x = 0,03131...
För att göra denna jämlikhet mer lik det föregående exemplet måste vi ändra den så att vi inte har något tal mellan lika tecken och perioden. För det, låt oss multiplicera ekvationen med 10:
10 x = 0,313131... ***
Efter resonemanget som används i det första exemplet har vi att det periodiska decimaltalet har en tvåsiffrig period, så låt oss multiplicera ekvationen med 100.
1000 x = 31,313131...
Nu räcker det att bryta hela delen av decimaltalet, i den andra medlemmen av jämställdheten.
1000 x = 31 + 0,313131...
men av ***, Vi måste 10 x = 0,313131..., låt oss ersätta decimaltalet med 10 x.
1000 x = 31 + 10 x
1000 x - 10 x = 31
990 x = 31
x = 31
990
Så den genererande fraktionen av 0,0313131… é 31 . Denna regel kan tillämpas på alla periodiska tionder.
990
Av Amanda Gonçalves
Examen i matematik
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm
