Numeriska uppsättningar: naturliga, heltal, rationella, irrationella och verkliga

Du numeriska uppsättningar de sammanför flera uppsättningar vars element är siffror. De bildas av naturliga, heltal, rationella, irrationella och reella tal. Den gren av matematik som studerar numeriska uppsättningar är uppsättningsteori.

Kontrollera nedan egenskaperna hos var och en av dem, såsom koncept, symbol och delmängder.

Uppsättning av naturliga nummer (N)

Uppsättningen av naturliga tal representeras av N. Den samlar de siffror vi använder för att räkna (inklusive noll) och är oändlig.

Delmängder av naturliga nummer

• N * = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} eller N * = N - {0}: uppsättningar av naturliga tal som inte är noll, det vill säga utan noll.
• N_P = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, där n ∈ N: uppsättning jämna naturliga tal.
• N_i = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n + 1, ...}, där n ∈ N: uppsättning udda naturliga tal.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: uppsättning naturliga primtal.

Uppsättning av heltal (Z)

Uppsättningen av heltal representeras av Z. Den sammanför alla elementen i de naturliga siffrorna (N) och deras motsatser. Således drar vi slutsatsen att N är en delmängd av Z (N ⊂ Z):

Delmängder av heltal

• Z * = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} eller Z * = Z - {0}: uppsättningar av icke-noll heltal, dvs utan nollan.
• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: uppsättning av heltal och icke-negativa tal. Observera att Z₊ = Nej
• Z^*₊= {1, 2, 3, 4, 5, ...}: uppsättning positiva heltal utan noll.
• Z _– = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: uppsättning icke-positiva heltal.
• Z^*_–= {..., –5, –4, –3, –2, –1}: uppsättning negativa heltal utan noll.

Uppsättning av rationella nummer (Q)

Uppsättningen av rationella nummer representeras av F. Samlar alla siffror som kan skrivas i formen p / q, vara P och Vad heltal och q ≠ 0.

Q = {0, ± 1, ± 1/2, ± 1/3,..., ± 2, ± 2/3, ± 2/5,..., ± 3, ± 3/2, ± 3 / 4, ...}

Observera att varje heltal också är ett rationellt tal. Så Z är en delmängd av Q.

Delmängder av rationella nummer

• Q * = delmängd av icke-noll rationella tal, bildade av rationella tal utan noll.
• F₊ = delmängd av icke-negativa rationella tal, bildade av positiva rationella tal och noll.
• F^*₊ = delmängd av de positiva rationella siffrorna, bildade av de positiva rationella siffrorna, utan noll.
• F_– = delmängd av icke-positiva rationella tal, bildade av negativa rationella tal och noll.
• Q *_– = delmängd av negativa rationella tal, bildade negativa rationella tal, utan noll.

Uppsättning av irrationella siffror (I)

Uppsättningen av irrationella siffror representeras av Jag. Samlar inexakta decimaltal med en oändlig, icke-periodisk representation, till exempel: 3.141592... eller 1.203040 ...

Det är viktigt att notera att periodiska tionder de är rationella och inte irrationella siffror. De är decimaltal som upprepas efter komma, till exempel: 1.3333333 ...

Uppsättning av riktiga siffror (R)

Uppsättningen av riktiga nummer representeras av R. Denna uppsättning bildas av rationella (Q) och irrationella (I) tal. Således har vi att R = Q ∪ I. Vidare är N, Z, Q och I delmängder av R.

Men notera att om ett verkligt tal är rationellt kan det inte heller vara irrationellt. På samma sätt, om han är irrationell, är han inte rationell.

Delmängder av verkliga siffror

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: uppsättning reella tal som inte är noll.
• R₊= {x ∈ R│x ≥ 0}: uppsättning icke-negativa reella tal.
• R^*₊= {x ∈ R│x> 0}: uppsättning positiva reella tal.
• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: uppsättning icke-positiva reella tal.
• R^*_– = {x ∈ R│x

Läs också om Siffror: vad de är, historik och uppsättningar.

Numeriska intervall

Det finns till och med en delmängd relaterad till verkliga tal som kallas intervall. vara De och B reella tal och med verkliga intervaller:

extremt öppet intervall:] a, b [= {x ∈ R│a

Stängt utbud av ytterligheter: [a, b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Öppet intervall till höger (eller lämnas stängda) av ytterligheter: [a, b [= {x ∈ R│a ≤ x

lämnat öppet intervall (eller stängd till höger) av ytterligheter:] a, b] = {x ∈ R│a

Egenskaper hos numeriska uppsättningar

Diagram över numeriska uppsättningar

För att underlätta studier av numeriska uppsättningar, nedan är några av deras egenskaper:

• Uppsättningen av naturliga tal (N) är en delmängd av heltal: Z (N ⊂ Z).
• Uppsättningen av heltal (Z) är en delmängd av de rationella siffrorna: (Z ⊂ Q).
• Uppsättningen av rationella tal (Q) är en delmängd av de verkliga siffrorna (R).
• Uppsättningarna av naturliga (N), heltal (Z), rationella (Q) och irrationella (I) tal är delmängder av de verkliga siffrorna (R).

Entréexamensövningar med feedback

1. (UFOP-MG) När det gäller siffrorna a = 0,49999... och b = 0,5, är det korrekt att ange:

a) b = a + 0,011111
b) a = b
ç) De är irrationell och B det är rationellt
ger

Se Svar

Alternativ b: a = b

2. (UEL-PR) Observera följande siffror:

I. 2,212121...
II. 3,212223...
III. π/5
IV. 3,1416
V. √– 4

Kontrollera alternativet som identifierar de irrationella siffrorna:

a) I och II.
b) I och IV.
c) II och III.
d) II och V.
e) III och V.

Se Svar

Alternativ c: II och III.

3. (Cefet-CE) Satsen är enhetlig:

a) {x ∈ Z│x b) {x ∈ Z│x² > 0}
c) {x ∈ R│x² = 1}
d) {x ∈ Q│x² e) {x ∈ N│1

Se Svar

Alternativ e: {x ∈ N│1

Läs också:

• Uppsättningsteori
• Komplexa tal
• Operationer med uppsättningar
• Övningar på uppsättningar
• Numeriska uppsättningsövningar
• Övningar på komplexa nummer