PA och PG: sammanfattning, formler och övningar

DE aritmetisk progression - PA är en sekvens av värden som har en konstant skillnad mellan på varandra följande siffror.

DE geometrisk progression - PG presenterar siffror med samma kvot när man delar två på varandra följande termer.

Medan i den aritmetiska utvecklingen erhålls termerna genom att lägga till skillnaden som är gemensam för föregångaren, villkoren för a geometriska framsteg hittas genom att multiplicera förhållandet med det sista numret i sekvensen och därmed erhålla termen efterträdare.

Nedan följer en sammanfattning av de två typerna av progressioner.

Aritmetisk progression (AP)

En aritmetisk progression är en sekvens som bildas av termer som skiljer sig från varandra genom ett konstant värde, som kallas förhållande, beräknat av:

Var,

r är anledningen till BP;
De₂ är den andra termen;
De₁ är den första terminen.

Därför kan termerna för en aritmetisk progression skrivas enligt följande:

Observera att i en PA av Nej betecknar formeln för den allmänna termen (_Nej) av sekvensen är:

De_Nej = den₁ + (n - 1) r

Några speciella fall är: en 3-term AP representeras av (x - r, x, x + r) och en 5-term AP har dess komponenter representerade av (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Typer av PA

Enligt förhållandevärdet klassificeras aritmetiska progressioner i tre typer:

1. Konstant: när förhållandet är lika med noll och BP-termerna är lika.

Exempel: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), där r = 0

2. Växande: när förhållandet är större än noll och en term från den andra är större än den föregående;

Exempel: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), där r = 2

3. nedåtgående: när förhållandet är mindre än noll och en term från den andra är mindre än den föregående.

Exempel: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), där r = - 2

Aritmetiska framsteg kan fortfarande klassificeras i ändlig, när de har ett visst antal termer, och oändlig, det vill säga med oändliga termer.

Summan av villkoren för en PA

Summan av termerna för en aritmetisk progression beräknas med formeln:

Var, Nej är antalet termer i sekvensen, De₁ är den första terminen och De_Nej är den nionde termen. Formeln är användbar för att lösa frågor där den första och sista termen ges.

När ett problem har den första termen och BP-anledningen kan du använda formeln:

Dessa två formler används för att lägga till termerna för en ändlig BP.

PA: s genomsnittliga löptid

För att bestämma medelvärdet eller den centrala termen för en BP med ett udda antal termer beräknar vi det aritmetiska medelvärdet med den första och sista termen (a₁ och den_Nej):

Medeltiden mellan tre på varandra följande siffror i en PA motsvarar det aritmetiska medelvärdet för föregångaren och efterträdaren.

Löst exempel

Med tanke på PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) bestäm förhållandet, medelvärdet och summan av termerna.

1. PA-anledning

2. på medellång sikt

3. summan av villkoren

Lära sig mer om aritmetisk progression.

Geometrisk progression (PG)

En geometrisk progression bildas när en sekvens har en multiplikatorfaktor som härrör från att dela två på varandra följande termer, kallat ett gemensamt förhållande, vilket beräknas av:

Var,

Vad är orsaken till PG;
De₂ är den andra termen;
De₁ är den första terminen.

En geometrisk progression av Nej termer kan representeras enligt följande:

Varelse De₁ den första termen beräknas den allmänna termen för PG med De₁.q^(Nej-1).

PG-typer

Enligt värdet på förhållandet (q) kan vi klassificera de geometriska progressionerna i fyra typer:

1. Växande: förhållandet är alltid positivt (q> 0) och termerna ökar;

Exempel: PG: (3, 9, 27, 81, ...), där q = 3.

2. nedåtgående: förhållandet är alltid positivt (q> 0), icke-noll (0), och termerna minskar;

Exempel: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), där q = 3

3. oscillerande: anledningen är negativ (q

Exempel: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, ...), där q = - 2

4. Konstant: förhållandet är alltid lika med 1 och termerna har samma värde.

Exempel: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), där q = 1

Summan av villkoren för en PG

Summan av termerna för en geometrisk progression beräknas med formeln:

Varelse De₁ den första terminen Vad den vanliga orsaken och Nej antalet termer.

Om PG-förhållandet är mindre än 1, kommer vi att använda följande formel för att bestämma summan av termer.

Dessa formler används för en ändlig PG. Om den begärda summan är en oändlig PG är formeln som används:

Genomsnittlig löptid för PG

För att bestämma medelvärdet eller den centrala termen för en PG med ett udda antal termer beräknar vi det geometriska medelvärdet med den första och sista termen (a₁ och den_Nej):

Löst exempel

Med tanke på PG (1, 3, 9, 27 och 81) bestäm förhållandet, genomsnittsperioden och summan av villkoren.

1. PG anledning

2. på medellång sikt

3. summan av villkoren

Lära sig mer om geometrisk progression.

Sammanfattning av PA- och PG-formler

aritmetisk progression	Geometrisk progression
Anledning
allmänna termen
på medellång sikt
begränsad summa
oändlig summa

Lära sig mer om nummersekvenser.

Övningar på PA och PG

fråga 1

Vad är den 16: e termen i sekvensen som börjar med siffran 3 och har ett BP-förhållande lika med 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Se Svar

Rätt alternativ: d) 63.

Eftersom förhållandet mellan en PA är konstant kan vi hitta den andra termen i sekvensen genom att lägga till förhållandet till det första numret.

De₂ = den₁ + r

De₂ = 3 + 4

De₂ = 7

Därför kan vi säga att denna sekvens bildas av (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

Den 16: e termen kan beräknas med den allmänna termformeln.

De_Nej = den₁ + (n - 1). r

De₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

De₁₆ = 3 + 15.4

De₁₆ = 3 + 60

De₁₆ = 63

Därför är svaret på frågan 63.

fråga 2

Vad är förhållandet mellan en sex-term AP vars summa av de tre första siffrorna i sekvensen är lika med 12 och de två sista är lika med –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Se Svar

Rätt alternativ: b) - 6.

Den allmänna formeln för termerna för en aritmetisk progression är₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Därför kan summan av de tre första termerna skrivas enligt följande:

De₁ + (₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3: e₁ + 3r = 12
3: e₁ = 12 - 3r
De₁ = (12 - 3r) / 3
De₁ = 4 - r

Och summan av de två sista termerna är:

(De₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2: a₁ + 9r = - 34

Nu byter vi ut₁ av 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Därför är PG-förhållandet - 6.

fråga 3

Om den tredje termen för en läkare är 28 och den fjärde termen är 56, vilka är de 5 första termerna för denna geometriska progression?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Se Svar

Rätt alternativ: d) 7, 14, 28, 56, 112

Först måste vi beräkna förhållandet mellan denna PG. För detta kommer vi att använda formeln:

De₄ = den₃. Vad
56 = 28. Vad
56/28 = q
q = 2

Nu beräknar vi de första 5 termerna. Vi börjar med₁ med formeln för den allmänna termen.

De_Nej = den₁. Vad^(n-1)
De₃ = den₁ . Vad^(3-1)
28 =₁. 2²
De₁ = 28/ 4 = 7

De återstående villkoren kan beräknas genom att multiplicera antesedens term med förhållandet.

De₂ = den₁.q
De₂ = 7. 2
De₂ = 14

De₅ = den₄. Vad
De₅ = 56. 2
De₅ = 112

Därför är de första 5 villkoren för PG:

1: a valperiod: 7
2: a valperiod: 14
3: e valperiod: 28
4: e valperiod: 56
5: e valperiod: 112

Se även andra övningar för att fortsätta att träna:

• Övningar om aritmetisk progression
• Övningar om geometrisk progression