Sanningstabellen eller sanningstabellen är ett matematiskt verktyg som ofta används inom logiskt resonemang. Dess mål är att verifiera den logiska giltigheten av en sammansatt proposition (argument bildat av två eller flera enkla propositioner).
Exempel på sammansatta förslag:
- John är lång och Mary är kort.
- Peter är lång eller Joana är blond.
- om Peter är lång, sedan Joan är en rödhårig.
Var och en av ovanstående sammansatta propositioner bildas av två enkla propositioner förenade med de djärva anslutningarna. Varje enkelt förslag kan vara sant eller falskt och detta kommer direkt att innebära det logiska värdet av det sammansatta förslaget. Om vi antar frasen "John är lång och Mary är kort”Kommer de möjliga värderingarna av detta uttalande att vara:
- Om John är lång och Mary är kort, är frasen ”John är lång och Mary är kort” SANT.
- Om John är lång och Mary inte är kort är frasen ”John är lång och Mary är kort” FALSK.
- Om John inte är lång och Mary är kort är frasen ”John är lång och Mary är kort” FALSK.
- Om John inte är lång och Maria inte är kort är frasen ”John är lång och Mary är kort” FALSK.
Sanningstabellen beskriver samma resonemang (se ämnet Samband nedan) mer direkt. Dessutom kan sanningstabellregler tillämpas. oavsett antalet förslag i meningen.
Hur det fungerar?
Först, förvandla frågan förslag till symboler som används i logiken. Listan över universellt använda symboler är:
| Symbol | Logisk drift | Menande | Exempel |
|---|---|---|---|
| P | . | Proposition 1 | p = John är lång. |
| Vad | . | Proposition 2 | q = Mary är kort. |
| ~ | Avslag | Nej | Om John är lång, "~ s" den är fejk. |
| ^ | Samband | och | P^Vad = John är lång och Mary är kort. |
| v | Åtskiljande | eller | Pvq = John är lång eller Mary är kort. |
| → | Villkorlig | om då | P→Vad = Om John är lång är Mary kort. |
| ↔ | biconditional | om och endast om | P↔q = John är lång om och bara om Mary är kort. |
Därefter sammanställs en tabell med alla värderingsmöjligheter för en sammansatt proposition och ersätter uttalandena med symboler. Det är värt att klargöra att i fall där det finns fler än två propositioner kan de symboliseras med bokstäverna r, s, och så vidare.
Slutligen tillämpas den logiska operation som definieras av den visade kontakten. Som anges ovan kan dessa operationer vara: negation, konjunktion, disjunktion, villkorad och biconditional.
Avslag
Förnekelse symboliseras av ~. Negationens logiska funktion är det enklaste och kräver ofta inte sanningstabellen. I enlighet med samma exempel, om John är lång (p) och säger att John inte är lång (~ p) är FALSKT och vice versa.
Samband
Sammankopplingen symboliseras av ^. Exemplet "John är lång och Mary är kort" kommer att symboliseras med "s^q "och sanningstabellen kommer att vara:
Sammankopplingen föreslår en idé om ackumulering, så om en av de enkla propositionerna är falska är det omöjligt för den sammansatta propositionen att vara sant.
Slutsats: de konjunktiva sammansatta förslagen (som innehåller bindemedlet och) kommer bara att vara sant när alla dess element är sanna.
Exempel:
- Paulo, Renato och Túlio är snälla och Carolina är rolig. - Om Paulo, Renato eller Túlio inte är snälla eller Carolina inte är rolig kommer förslaget att vara FALSKT. Det är nödvändigt att Allt informationen är sant för det sammansatta förslaget att vara SANT.
Åtskiljande
Disjunktionen symboliseras av v. Ändra anslutningen från exemplet ovan till eller vi kommer att ha "John är lång eller Mary är kort". I det här fallet kommer frasen att symboliseras med "pvq "och sanningstabellen kommer att vara:
Disjunktionen innebär en idé om alternering, det räcker därför att en av de enkla propositionerna är sanna för att den sammansatta också ska vara sant.
Slutsats: de disjunktiva sammansatta förslagen (som innehåller bindemedlet eller) kommer bara att vara falskt när alla dess element är falska.
Exempel:
- Min mamma, far eller farbror ger mig en present. - För att uttalandet ska vara SANT är det tillräckligt att endast en bland mamman, far eller farbror ger gåvan. Förslaget är bara FALSKT om ingen av dem ger det.
Villkorlig
Villkoret symboliseras av →. Det uttrycks av anslutningarna om och sedan, som sammankopplar de enkla propositionerna i ett orsakssamband. Exemplet "Om Paulo är från Rio de Janeiro, då är han brasiliansk" blir "s→q "och sanningstabellen kommer att vara:
Villkor har en antecedent proposition och en därpå följande, åtskilda av bindemedlet sedan. I analysen av villkor är det nödvändigt att utvärdera vilka fall förslaget det kan vara möjligt, med tanke på förhållandet mellan implikationerna mellan antecedenten och det därpå följande.
Slutsats: Villkorliga sammansatta förslag (som innehåller anslutningarna om och sedan) kommer bara att vara falskt om det första förslaget är sant och det andra falskt.
Exempel:
- Om Paulo är från Rio är han brasiliansk. - För att detta förslag ska betraktas som SANT är det nödvändigt att utvärdera de fall där det är MÖJLIGT. Enligt sanningstabellen ovan har vi:
- Paulo är från Rio / Paulo är brasiliansk = MÖJLIG
- Paulo är från Rio / Paulo är inte brasiliansk = OMÖJLIG
- Paulo är inte från Rio / Paulo är brasiliansk = MÖJLIG
- Paulo är inte carioca / Paulo är inte brasiliansk = MÖJLIG
biconditional
Den biconditional symboliseras av ↔. Det läses genom anslutningarna om och bara om, som förbinder de enkla propositionerna i en ekvivalensrelation. Exemplet "John är glad om och bara om Mary ler." blir "s↔q "och sanningstabellen kommer att vara:
Biconditionals föreslår en idé om ömsesidigt beroende. Som namnet visar består biconditionalen av två villkor: en som börjar från P för Vad (S→q) och en annan i motsatt riktning (q→P).
Slutsats: Kl tvåbetingade sammansatta förslag (som innehåller anslutningarna om och bara om) kommer bara att vara sant när alla förslag är sanna, eller om alla förslag är falska.
Exempel:
- João är glad om och bara om Maria ler. - Medel för att säga att:
- Om John är lycklig, ler Mary och om Mary ler, är John glad = VERKLIG
- Om John inte är lycklig, ler inte Maria och om Maria inte ler är John inte lycklig = VERKLIG
- Om João är lycklig ler Maria inte = FALSKT
- Om João inte är lycklig ler Maria = FALSKT
Översikt
Det är vanligt att forskare i sanningstabeller memorerar slutsatserna från var och en av de logiska operationerna. För att spara tid när du löser problem, tänk alltid på att:
- Konjunktiva förslag: De kommer bara att vara sanna när alla element är sanna.
- Disjunktiva förslag: Det kommer bara att vara falskt när alla element är falska.
- Villkorliga förslag: De kommer bara att vara falska när det första förslaget är sant och det andra falskt.
- Biconditional Propositions: Det kommer bara att vara sant när alla element är sanna eller om alla element är falska.
