Summan av inre och yttre vinklar för en konvex polygon

Du konvexa polygoner är de som inte har någon konkavitet. För att se om en polygon är konvex eller inte, måste vi observera att alla raka linjesegment med ändar i figuren inte passerar genom det yttre området.

I konvexa polygoner finns det formler som låter dig bestämma summan av de inre och yttre vinklarna. Kolla upp!

Summan av de inre vinklarna för en konvex polygon

Formeln för summan av de inre vinklarna för en konvex polygon med n sidor är:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Demonstration:

Om vi tittar ser vi att varje konvex polygon kan delas in i ett visst antal trianglar. Se några exempel:

Så, kom ihåg att summan av de inre vinklarna i en triangel är alltid lika med 180 °, kan vi se att summan av de inre vinklarna i dessa figurer ovan kommer att ges av antalet trianglar som figuren kan delas gånger 180 °:

fyrhörning: 2 trianglar ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Pentagon: 3 trianglar ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Sexhörning: 4 trianglar ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Så för att få en formel för att beräkna summan av de inre vinklarna för en konvex polygon, behöver vi bara veta, generellt sett, hur många trianglar en konvex polygon kan delas in i.

instagram story viewer

Om vi observerar finns det ett samband mellan denna kvantitet och antalet sidor av figurerna. Antalet trianglar är lika med antalet sidor av figuren minus 2, det vill säga:

$\ dpi {120} \ mathrm {Total \, av \, tri \ hat {a} vinklar = n - 2}$

Fyrkant: 4 sidor ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Pentagon: 5 sidor ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Sexkant: 6 sidor ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Så i allmänhet ges summan av de inre vinklarna för en konvex polygon av: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Vilken är formeln vi ville demonstrera.

Exempel:

Hitta summan av de inre vinklarna på en konvex ikosagon.

En ikosagon är en 20-sidig polygon, det vill säga n = 20. Låt oss ersätta detta värde i formeln:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Därför är summan av de inre vinklarna för en konvex ikosagon lika med 3240 °.

Summan av en polygons yttre vinklar

DE summan av utsidan av en konvex polygon är alltid lika med 360 °, det vill säga:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Demonstration:

Kolla in några gratis kurser

Gratis inkluderande online-utbildningskurs
Gratis online leksaksbibliotek och utbildningskurs
Gratis matematikspelkurs online i utbildning i förskolan
Gratis online pedagogisk kulturell workshop

Vi kommer att demonstrera med exempel att summan av de yttre vinklarna för en konvex polygon inte beror på antalet sidor i figuren och alltid är lika med 360 °.

Fyrsidig:

fyrhörning Observera att varje inre vinkel bildar en 180 ° vinkel med den yttre vinkeln. Eftersom det finns fyra hörn ges summan av alla vinklar med 4. 180° = 720°.

Dvs: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Snart:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

En gång $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , sedan:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentagon:

I femkanten har vi 5 hörn, så summan av alla vinklar ges av 5. 180° = 900°. Snart: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Sedan: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . En gång $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , sedan: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Sexhörning:

I hexagonen har vi 6 hörn, så summan av alla vinklar ges av 6. 180° = 1080°. Snart: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Sedan: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . En gång $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , sedan: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Som du kan se, i alla tre exemplen, summan av de yttre vinklarna, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , resulterade i 360 °.

Exempel:

Summan av en polygons inre och yttre vinklar är lika med 1800 °. Vad är denna polygon?

Vi har: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Att veta det i vilken polygon som helst $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , då har vi: