Komplexa nummerövningar: Lista över lösta frågor och feedback

protection click fraud

Du komplexa tal göra det möjligt att lösa matematiska problem som inte har lösningar i uppsättningen riktiga nummer.

I ett komplext antal skrivet som $\ dpi {120} z = a + bi$ , vi säger det $\ dpi {120} till$ är den verkliga delen, $\ dpi {120} b$ är den imaginära delen och $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ det är den imaginära enheten.

Att prestera operationer med komplexa siffror, det finns några uttryck som underlättar beräkningarna. Överväga $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ och $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Tilläggsuttryck mellan komplexa tal:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Uttryck av subtraktion mellan komplexa tal:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Uttryck av multiplikation mellan komplexa tal:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Uttryck av uppdelning mellan komplexa tal:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Nedan är en lista över frågor lösta med övningar på komplexa nummer. Lär dig att använda vart och ett av begreppen som involverar dessa siffror!

Index

Lista över övningar på komplexa siffror
Lösning av fråga 1
Lösning av fråga 2
Lösning av fråga 3
Lösning av fråga 4
Lösning av fråga 5
Lösning av fråga 6
Lösning av fråga 7
Lösning av fråga 8

Lista över övningar på komplexa siffror

Fråga 1. Med tanke på de komplexa siffrorna $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ och $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ bestämma värdet på $\ dpi {120} A$ , När $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Fråga 2. Hitta värdena för $\ dpi {120} x$ och $\ dpi {120} y$ Så att $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

instagram story viewer

Fråga 3. Med tanke på de komplexa siffrorna $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ och $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , bestämma värdet på $\ dpi {120} A \ cdot B$ , När $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ och $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Fråga 4. Beräkna värdet av $\ dpi {120} s$ och $\ dpi {120} q$ för vad $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , När $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ och $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Fråga 5. Bestäm värdet på $\ dpi {120} till$ för vad $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ vara ett rent imaginärt tal.

Fråga 6. Beräkna följande imaginära enhetseffekter $\ dpi {120} i$ :

De) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Fråga 7. Hitta lösningen på ekvationen $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ i uppsättningen komplexa nummer.

Fråga 8. Bestäm lösningen av ekvationen $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ i uppsättningen komplexa nummer.

Lösning av fråga 1

Vi har $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ och $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ och $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ och vi vill bestämma värdet på $\ dpi {120} A$ , När $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Låt oss först beräkna $\ dpi {120} 4z_3$ och $\ dpi {120} 3z_1$ , separat:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Låt oss nu beräkna $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Lösning av fråga 2

Vi vill hitta x och y så att $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Genom att uttrycka summan mellan två komplexa tal måste vi:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Så vi måste ha $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ och $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Låt oss lösa dessa två ekvationer för att hitta x och y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Lösning av fråga 3

Vi har $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ och $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ och vi vill bestämma värdet på $\ dpi {120} A \ cdot B$ , När $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ och $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Först beräknar vi $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Genom uttrycket av multiplikationen mellan två komplexa tal måste vi:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Låt oss nu beräkna $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1-3 - cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Därför, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Lösning av fråga 4

Vi vill beräkna värdet på $\ dpi {120} s$ och $\ dpi {120} q$ för vad $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , När $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ och $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Det betyder att hitta $\ dpi {120} s$ och $\ dpi {120} q$ så att:

Kolla in några gratis kurser

Gratis inkluderande online-utbildningskurs
Gratis online leksaksbibliotek och utbildningskurs
Gratis matematikspelkurs online i utbildning i förskolan
Gratis online pedagogisk kulturell workshop

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Genom uttrycket för uppdelningen mellan två komplexa tal måste vi:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

För att gå med i de två villkoren måste vi ha:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Dvs:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Låt oss lösa var och en av dessa ekvationer, börjar med den andra som bara beror på p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Nu hittar vi q med den andra ekvationen:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Lösning av fråga 5

Vi vill hitta värdet av $\ dpi {120} till$ för vad $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ vara ett rent imaginärt tal.

Ett rent imaginärt tal är ett vars verkliga del är lika med noll.

Med tanke på uttrycket för uppdelningen mellan två komplexa tal har vi det:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

För att detta nummer ska vara rent imaginärt måste vi ha:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Lösning av fråga 6

Genom att definiera krafter och komplexa tal måste vi:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Observera ett mönster som upprepar var fjärde på varandra följande krafter: 1, i, -1 och -i.

Således, för att hitta resultatet vid vilken kraft som är i, dela bara exponenten med 4. Resten av divisionen kommer att vara 0, 1, 2 eller 3 och detta värde är den exponent vi ska använda.

De) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 och resten är 0.

Sedan, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .