Trigonometriska funktioner i halvbågen

På trigonometriska funktioner, sinus, cosinus och tangent, av båghalvan kan erhållas från de trigonometriska funktionerna för dubbelbågen.

Givet en måttbåge $\ dpi {120} \ alfa$ , den dubbla fören är fören $\ dpi {120} 2 \ alfa$ och halvbågen är bågen $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Förbi två bågtilläggsformler, vi har de trigonometriska funktionerna för dubbelbågen:

Sinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

cosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangent:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

Från dessa formler visar vi formlerna för halvbågs trigonometriska funktioner.

Trigonometriska funktioner för halvbågen

En av grundläggande relationer mellan trigonometri är det:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Var får vi:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

byter ut $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ i formeln för cosinus i dubbelbågen måste vi:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Kolla in några gratis kurser

Gratis inkluderande online-utbildningskurs
Gratis leksaksbibliotek och inlärningskurs online
Gratis matematikspelkurs online i utbildning i tidig barndom
Gratis online pedagogisk kulturell workshop

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Därför: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

byter ut $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alpha / 2$ i formeln ovan och extraherar kvadratroten på båda sidor har vi formeln för cosinus av båghalva:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Obs: Tecknet i formeln kommer att vara positivt eller negativt enligt kvadranten på båghalvan.

Nu byter ut $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ i formeln för cosinus i dubbelbågen måste vi:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Därför:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

byter ut $\ dpi {120} \ alfa$ per $\ dpi {120} \ alpha / 2$ i formeln ovan och extraherar kvadratroten på båda sidor har vi formeln för sinus av båghalva:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Obs: Tecknet i formeln kommer att vara positivt eller negativt enligt kvadranten på båghalvan.

Slutligen kan vi få båghalvans tangent genom att dividera båshalvans sinus med båghalvans cosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \alfa}}}$

Därför är formeln för halv bågtangent é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Obs: Tecknet i formeln kommer att vara positivt eller negativt enligt kvadranten på båghalvan.

Du kanske också är intresserad:

trigonometrisk cirkel
trigonometrisk tabell
Trigonometriska förhållanden
syndens lag
cosinus lag

Lösenordet har skickats till din e-post.

Trigonometriska funktioner i halvbågen

Trigonometriska funktioner för halvbågen

Legend av fikonpåven

De tio största länderna i världen efter territorium

18 matematiska gåtor med svar