Trigonometriska funktioner i halvbågen


trigonometriska funktioner, sinus, cosinus och tangent, av båghalvan kan erhållas från de trigonometriska funktionerna för dubbelbågen.

Givet en måttbåge \ dpi {120} \ alfa, den dubbla fören är fören \ dpi {120} 2 \ alfa och halvbågen är bågen \ dpi {120} \ alpha / 2.

Förbi två bågtilläggsformler, vi har de trigonometriska funktionerna för dubbelbågen:

Sinus:

\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}

cosinus:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot sin \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}
Tangent:
\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot tan \, {\ alpha}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}

Från dessa formler visar vi formlerna för halvbågs trigonometriska funktioner.

Trigonometriska funktioner för halvbågen

En av grundläggande relationer mellan trigonometri är det:

\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}

Var får vi:

\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}
\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}

byter ut \ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha} i formeln för cosinus i dubbelbågen måste vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}
Kolla in några gratis kurser
  • Gratis inkluderande online-utbildningskurs
  • Gratis leksaksbibliotek och inlärningskurs online
  • Gratis matematikspelkurs online i utbildning i tidig barndom
  • Gratis online pedagogisk kulturell workshop
\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

Därför:\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}

\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}

byter ut \ dpi {120} \ alfa per \ dpi {120} \ alpha / 2 i formeln ovan och extraherar kvadratroten på båda sidor har vi formeln för cosinus av båghalva:

\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Obs: Tecknet i formeln kommer att vara positivt eller negativt enligt kvadranten på båghalvan.

Nu byter ut \ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha} i formeln för cosinus i dubbelbågen måste vi:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}

Därför:

\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}

byter ut \ dpi {120} \ alfa per \ dpi {120} \ alpha / 2 i formeln ovan och extraherar kvadratroten på båda sidor har vi formeln för sinus av båghalva:

\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}

Obs: Tecknet i formeln kommer att vara positivt eller negativt enligt kvadranten på båghalvan.

Slutligen kan vi få båghalvans tangent genom att dividera båshalvans sinus med båghalvans cosinus:

\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \alfa}}}

Därför är formeln för halv bågtangent é:

\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}

Obs: Tecknet i formeln kommer att vara positivt eller negativt enligt kvadranten på båghalvan.

Du kanske också är intresserad:

  • trigonometrisk cirkel
  • trigonometrisk tabell
  • Trigonometriska förhållanden
  • syndens lag
  • cosinus lag

Lösenordet har skickats till din e-post.

Terroristattackerna den 11 september 2001

Terroristattackerna den 11 september 2001

Index11 september attackTerroristerskäl11 september attackpå morgonen på dagen 11 september 2001,...

read more

Övningar på svartdöden

DE Digerdödeninträffade under feodalismens kris. Åren 1315 till 1317 upplevde perioder med krafti...

read more

Neandertalare: Fakta om våra utdöda mänskliga släktingar

Neandertalarna är våra mänskliga släktingar närmare utdöda. Det diskuteras om de var en distinkt ...

read more