DE cosinus lag är trigonometrisk relation används för att relatera sidor och vinklar på ett triangel någon, det vill säga den triangeln som inte nödvändigtvis har en rätt vinkel. Observera följande triangel ABC med de markerade måtten:
DE lagFråncosinus kan ges av något av följande uttryck:
De2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosa
B2 = den2 + c2 - 2 · a · c · cosp
ç2 = b2 + den2 - 2 · b · a · cosθ
Observation: Det är inte nödvändigt att memorera dessa tre formler. Vet bara att lagFråncosinus kan alltid byggas. Observera, i det första uttrycket, att α är vinkeln mittemot den sida vars mått ges av De. Vi börjar formeln med kvadraten på motsatt sida av vinkeln som kommer att användas i beräkningarna. Det kommer att vara lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna minus två gånger produkten av de två sidorna som inte är motsatt denna vinkel av cosinus av α.
På detta sätt kan de tre formlerna ovan reduceras till:
De2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosa
Så länge vi vet att ”De" är mätningen på motsatt sida av "α", och att "b" och "c" är måtten på de andra två sidorna av triangel.
Demonstration
Med tanke på triangel Alla ABC, med åtgärderna markerade i följande bild:
Tänk på trianglarna ABD och BCD bildade av höjden BD för triangeln ABC. Använda Pythagoras sats i ABD kommer vi att ha:
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 - x2
Med samma sats för triangel BCD, vi kommer att ha:
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
De2 = y2 + h2
H2 = den2 - y2
Att veta att det finns2 = c2 - x2, vi kommer att ha:
ç2 - x2 = den2 - y2
ç2 - x2 + y2 = den2
De2 = c2 - x2 + y2
Anmärkning på bilden av triangel där b = x + y, där y = b - x. Genom att ersätta detta värde med det resultat som erhållits tidigare har vi:
De2 = c2 - x2 + y2
De2 = c2 - x2 + (b - x)2
De2 = c2 - x2 + b2 - 2bx + x2
De2 = c2 + b2 - 2bx
Tittar fortfarande på figuren, märker att:
cosα = x
ç
c · cosα = x
x = c · cosa
Genom att ersätta detta resultat i föregående uttryck har vi:
De2 = c2 + b2 - 2bx
De2 = c2 + b2 - 2b · c · cosa
Detta är exakt det första av de tre uttrycken som presenteras ovan. De andra två kan erhållas analogt med den här.
Exempel - Vid triangel beräkna sedan måttet på x.
Lösning:
Använda lagFråncosinus, notera att x är mätningen av sidan mittemot 60 ° vinkeln. Därför bör det första "siffran" som visas i lösningen vara det:
x2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
x2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °
x2 = 200 - 200 · cos60 °
x2 = 200 – 200·1
2
x2 = 200 – 100
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Eftersom det inte finns några negativa längder, bör resultatet bara vara det positiva värdet, dvs. x = 10 cm.
av Luiz Moreira
Examen i matematik
Vill du hänvisa till texten i en skola eller ett akademiskt arbete? Se:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Vad är cosinuslag?"; Brasilien skola. Tillgänglig i: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Åtkomst den 27 juni 2021.
