Pyramider de är geometriska figurer som förekommer ofta, särskilt i arkitektur. pyramiderna är Geometriska fasta ämnen byggd i rymden baserat på en polygon i planet och en punkt utanför det planet. Eftersom det är en tredimensionell figur är det möjligt att beräkna dess volym, dessutom kan vi planera den och därmed hitta dess område.
Läs mer: Punkt, linje, plan, rymd: grundläggande begrepp för rumslig geometri
Vad är Pyramid?
Tänk på a polygon medvexo i ett plan och en H-punkt som inte tillhör planet. Vi definierar pyramid som föreningen av alla hörn i den konvexa polygonen vid punkt H.
Element av en pyramid
Tänk på pyramiden nedan.
• Pyramidens bas: polygon ABCDEF.
• Pyramid apex: punkt H.
• Sidoytor: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF och FHA, vilka är de trianglar bildas av föreningen av pyramidens topp med polygonens hörn.
• Baskanter: AB, BC, CD, DE, EF och FA, som är basens sidor.
• Sidokanter: AH, BH, CH, DH, EH och FH, som är segmenten av sidoytorna.
• Pyramidens höjd: h, vilket är avståndet mellan toppen av pyramiden och basen.
Låt oss fastställa notationerna för några element:
• A basarea kommer att betecknas med AB.
• Området för ett sidoyta representeras av AF.
• Summan av ansiktsområden anropas sidoområde, och detta betecknas med AL.
Således ges den totala ytan av pyramiden av summan av basarean (AB) med sidoområdet (AL) och betecknas med ATdvs:
DET = AB + AL
Veta mer: Stammen av pyramiden: vet vad det är och hur man beräknar ditt område
Typer av pyramider
På samma sätt som vi heter prismer enligt baspolygonen kallar vi också pyramiderna efter denna idé. Till exempel om en pyramid har en triangel, hon heter triangulär baspyramid, nu, om en pyramid är baserad på en fyrsidig, kallas fyrkantig baspyramid, och så vidare.
Pyramiderna är också uppdelade i två grupper: rak och sned. På pyramiderhetero är så kallade när projektion av vertex sammanfaller med mitten av basen, annars sägs de vara sneda. Se exemplen nedan:
Om basen är en vanlig polygon i en rak pyramid, så kommer pyramiden att vara regelbunden. I denna typ är avståndet från toppen till mitten av basen pyramidens höjd.
Segmentet som förenar toppen av pyramiden med mittpunkten för en baskant kallas a apotema i pyramiden, i detta fall GI. Det segment som förenar mitten av basen till mittpunkten för en baskant kallas apotema i basen, i det här fallet HI.
Notera trianglarna GHI och GHF och notera att de är rätt trianglardärför i det Pythagoras sats dess giltiga. Således:
(GI)2 = (GH)2 + (HI)2
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2
Pyramidområde
DE pyramidområde ges av summan av sidoområdena och basarean, det vill säga:
DET = AB + AL
Att det inte finns någon specifik formel beror på att pyramiderna har olika baser. I det föregående uttrycket märker du att det totala området AT beror på basarean. Se några exempel.
• Exempel
Beräkna den totala ytan för en rak pyramid, vars bas är en kvadrat med en sida på 10 m och höjden på en sidoyta är lika med 13 m.
Lösning
Inledningsvis ritar vi pyramiden enligt träningsdata.
Observera att vi kan beräkna ansiktsytan med de angivna uppgifterna med hjälp av formeln för triangelområdet.
Eftersom vi har fyra ytor är sidorean lika med 65 · 4 = 260 m2.
Nu måste vi beräkna ytan på basen som är en kvadrat, så:
Därför är pyramidområdet summan av sidoområdet och basarean.
DET = AB + AL
DET = 100+ 260
DET = 360 m2
Läs också: fikonområdeplatt uras: lär dig hur man beräknar olika typer
Pyramidvolym
Tänk på en pyramid med höjd h.
Volymen av pyramiden ges av den tredje delen av produkten av basarean (AB) och höjd (h):
• Exempel
(Enem) Artur och Bernardo gick på camping och tog vart och ett ett tält. Båda är formade som en pyramid med en fyrkantig bas, med kongruenta sidokanter. Bernardos tält har en höjd och sidokanter 10% större än Arthurs. Således är förhållandet mellan volymerna av Bernardo och Arthurs tält i den ordningen:
De) 1,1
B) 1,21
ç) 1,331
d) 1,4641
och) 1,5
Lösning
Inledningsvis beräknar vi volymen på Arthurs tält, som här betecknas med VDE. Eftersom pyramidens bas är en kvadrat är dess yta måttet på den kvadrerade sidan, låt oss representera den med L2.
Låt oss nu bestämma volymen på Bernardos tält, representerad av V.B. Observera först att höjden och kanterna är 10% högre jämfört med Arthurs tält, så vi måste:
HB = h + 10% av h
HB = h + 0,1 · h
HB = 1,1 · h
Likaså för basarean:
DEB = (1,1)2 · L2
Därför är Bernardos tältområde:
Eftersom målet med övningen är att hitta förhållandet mellan volymerna i Bernardos och Arthurs tält, måste vi:
Inse att vi kan "klippa" fraktionen L2 · H över 3, eftersom det representerar samma antal.
Alternativ C
av Robson Luiz
Mattelärare