O Pascals triangel det är ett ganska gammalt matteverktyg. Genom historien har den fått flera namn, men de mest adopterade idag är aritmetisk triangel och Pascals triangel. Det andra namnet är en hyllning till matematikern som gjorde flera bidrag till studien av denna triangel. betyder att triangeln uppfanns av honom, men det var han som gjorde en djupare studie av detta verktyg.
Från egenskaperna hos Pascals triangel är det möjligt att konstruera den logiskt. Sticker också ut din relation med kombinationer studerat i kombinatorisk analys. Termerna i Pascals triangel motsvarar också binomialkoefficienter och därför är det mycket användbart för att beräkna varje Newton binomial.
Läs också: Briot-Ruffini-enhet - metod för att dela polynomer
Konstruktion av Pascals triangel
Pascals triangel produceras från resultatet av kombinationernaMen det finns en praktisk metod som underlättar sättet att bygga den. Den första raden och den första kolumnen räknas som rad noll och kolumn noll. Vi kan använda så många linjer som behövs
i denna konstruktion kan därför triangeln ha oändliga linjer. Resonemanget för utarbetandet av raderna är alltid detsamma. Se:
Vi vet det triangeltermer är kombinationer, studerade i kombinatorisk analys. För att ersätta Pascals triangel med numeriska värden vet vi att kombinationerna av ett tal med noll och ett tal med sig själv alltid är lika med 1. Därför är de första och sista värdena alltid 1.
För att hitta de andra börjar vi med rad 2, eftersom rad 0 och rad 1 redan är färdiga. I rad 2, för att hitta kombinationen 2 till 1, i raden ovan, det vill säga i rad 1, låt oss lägga till termen ovanför den i samma kolumn och termen ovanför den i föregående kolumn, som visas på bilden :
Efter att ha byggt linje 2 är det möjligt att bygga linje 3 som utför samma procedur.
Fortsätt denna procedur hittar vi alla termer - i detta fall upp till rad 5 - men det är möjligt att bygga så många linjer som behövs.
Egenskaper för Pascals triangel
Det finns några egenskaper hos Pascals triangel, på grund av regelbundenheten i dess konstruktion. Dessa egenskaper är användbara för att arbeta med kombinationer, konstruktionen av själva triangeln och summan av linjer, kolumner och diagonaler.
1: a fastigheten
Den första egenskapen var den vi använde för att bygga triangeln. Så till hitta en term i Pascals triangel, lägg bara till termen som finns i raden ovanför den och samma kolumn med termen som finns i kolumnen och raden före den. Den här egenskapen kan representeras på följande sätt:
Den här egenskapen är känd som Stifels förhållande och det är viktigt att underlätta konstruktionen av triangeln och hitta värdena på var och en av linjerna.
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
2: a fastigheten
Summan av alla termer i rad beräknas av:
sNej=2Nej, på vad Nej är radnumret.
Exempel:
Med den här egenskapen är det möjligt att veta summan av alla termer på en rad utan att nödvändigtvis behöva konstruera Pascals triangel. Summan av rad 10 kan till exempel beräknas med 210 = 1024. Även om inte alla termer är kända är det redan möjligt att känna till summan av hela raden.
3: e fastigheten
Summan av termer som följer från början av en viss kolumn P upp till en viss rad Nej är samma som termen på linjen n +1 baksida och kolumn p +1 senare, som visas nedan:
4: e fastigheten
Summan av en diagonal som börjar i kolumn 0 och går till termen i kolumn p och rad n är lika med termen i samma kolumn (p), men i raden nedan (n + 1), som visas i bilden :
5: e fastigheten
Det finns symmetri i linjerna i Pascals triangel. Den första och andra termen är lika, den andra och näst sista termen är lika, och så vidare.
Exempel:
Rad 6: 1615 20 156 1.
Observera att termerna är lika med två till två, förutom den centrala termen.
Se också: Polynomavdelning: hur man löser det?
Newtons binomial
Vi definierar Newtons binomial a kraften hos en polynom som har två termer. Beräkningen av en binomial är relaterad till Pascal-triangeln, som blir en mekanism för att beräkna vad vi kallar binomialkoefficienter. För att beräkna en binomial använder vi följande formel:
Observera att exponentvärdet på De den minskar tills den under sista terminen är lika med De0. Vi vet att varje tal som höjs till 0 är lika med 1, så termen De visas inte under den sista terminen. Observera också att exponenten för B börjar med B0, snart B visas inte under den första perioden och ökar tills den når BNej, under den sista terminen.
Dessutom är det antal som åtföljer vart och ett av termerna det vi kallar en koefficient - i det här fallet känd som en binomial koefficient. För att bättre förstå hur man löser denna typ av binomial, gå till vår text: Newtons binomial.
binomial koefficient
Binomialkoefficienten är inget annat än kombinationen, som kan beräknas med formeln:
För att underlätta beräkningen av Newtons binomial är det dock viktigt att använda Pascal-triangeln, eftersom det ger oss resultatet av kombinationen snabbare.
Exempel:
För att hitta resultatet av binomialkoefficienten, låt oss hitta värdena på rad 5 i Pascals triangel, som är {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1 år5
Enkelt uttryckt:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
lösta övningar
Fråga 1 - Värdet på uttrycket nedan är?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Upplösning
Alternativ A.
Omgruppera de positiva och negativa värdena måste vi:
Observera att vi faktiskt beräknar subtraktionen mellan linje 4 och linje 3 i Pascals triangel. Efter egendom vet vi att:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Fråga 2 - Vad är värdet av uttrycket nedan?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Upplösning
Alternativ B.
Observera att vi lägger till termerna från kolumn 1 i Pascals triangel till rad 7 och sedan till den tredje egenskap, värdet på denna summa är lika med termen som upptar rad 7 + 1 och kolumn 1 + 1, det vill säga rad 8, kolumn 2. Eftersom vi bara vill ha ett värde är det inte praktiskt att konstruera hela Pascal-triangeln.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
